Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers 2017

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle -2020 par fx=-2x+30e0,2x-3.

    1. Montrer que fx=-0,4x+4e0,2x-3 pour tout réel x de l'intervalle -2020.

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle -2020 : {ux=-2x+30;ux=-2vx=e0,2x-3;vx=0,2e0,2x-3.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle -2020, fx=-2e0,2x-3+-2x+30×0,2e0,2x-3=-2-0,4x+6e0,2x-3=-0,4x+4e0,2x-3

      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle -2020 par fx=-0,4x+4e0,2x-3.


    2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle -2020. On précisera la valeur exacte du maximum de f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Pour tout réel x, e0,2x-3>0 donc fx est du même signe que -0,4x+4 sur l'intervalle -2020.

      Comme pour tout réel x, -0,4x+40x10, on en déduit le tableau établissant le signe de f ainsi que les variations de la fonction f :

      x-201020
      fx+0||
      fx

      70e-7

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      10e-1

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      -10e


    1. Montrer que, sur l'intervalle -2020, l'équation fx=-2 admet une solution unique α.

      On a f-20=70e-7, f10=10e-1 et f20=-10e-27,2.

      Ainsi, l'équation fx=-2 admet une unique solution α sur l'intervalle -2020.


    2. Donner un encadrement de α d'amplitude 0,1.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve 15,8<α<15,9.


  1. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

    1Dériver -10x+200e0,2x-3
    -2x+30e0,2x-3
    2Dériver -2x+30e0,2x-3
    -0,4x+4e0,2x-3
    3Dériver -0,4x+4e0,2x-3
    -0,08x+0,4e0,2x-3

    Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats donnés par le logiciel :

    1. Calculer la valeur exacte de 1015fxdx.

      Soit F la fonction définie sur l'intervalle -2020 par Fx=-10x+200e0,2x-3.
      Pour tout réel x appartenant à -2010, on a Fx=fx donc F est une primitive de la fonction f.

      1015fxdx=F15-F10=50e0-100e-1=50-100e-1

      1015fxdx=50-100e-1.


    2. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est convexe et préciser l'abscisse du point d'inflexion.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde f définie sur l'intervalle -2020 par fx=-0,08x+0,4e0,2x-3.

      Comme pour tout réel x, e0,2x-3>0 et -0,08x+0,40x5, on en déduit le tableau du signe de la dérivée seconde :

      x-20520
      fx+0||

      La fonction f est convexe sur l'intervalle -205. La courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse 5.


partie b

Une station de ski souhaite ouvrir une nouvelle piste au public. Le relief de cette piste est modélisé ci-dessous par la courbe représentative Cf de la fonction f définie dans la partie A sur l'intervalle 010.
Le point B représente le départ de la nouvelle piste et le point A représente la station de ski où se trouve l'arrivée.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Le réel x représente la distance horizontale, exprimée en km, depuis la station de ski et fx représente l'altitude, exprimée en km.

On appelle pente de la piste au point M, le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point M. Par exemple, une pente de 15 % en un point de la piste correspond à un coefficient directeur de 15100=0,15.

  1. On appelle dénivelé d'une piste de ski, la différence d'altitude entre le point de départ et le point d'arrivée de cette piste.
    Calculer le dénivelé de cette nouvelle piste. On arrondira le résultat au mètre.

    f10-f0=10e-1-30e-32,185

    Le dénivelé de cette nouvelle piste est d'environ 2185 m.


  2. La station de ski doit déterminer la difficulté de cette nouvelle piste en fonction de la pente.

    • La piste sera classée noire, c'est à dire très difficile, si au moins une portion de la piste à une pente supérieure ou égale à 40 %.
    • La piste sera classée rouge, c'est à dire difficile, si au moins une portion de la piste à une pente strictement comprise entre 25 % et 40 % (et aucune portion avec une pente supérieure ou égale à 40 %).
    • Si toutes les portions de la piste ont une pente inférieure ou égale à 25 % alors la piste sera classée bleue, c'est-à-dire facile.

    Déterminer le niveau de difficulté de cette nouvelle piste. Justifier la réponse.

    Les variations de la dérivée f se déduisent du signe de la dérivée seconde :

    x0510
    fx+0||
    fx

    4e-3

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2e-2

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    0


    Sur l'intervalle 010 le maximum de la fonction f est égal à 2e-20,27.

    La pente maximale de la piste est d'environ 27 % donc la piste sera classée rouge.



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