sujet : Centres Étrangers 2017

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[-20;20\right]$ par $f\left(x\right)=\left(-2x+30\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}$.

1. 1. Montrer que $f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,4}x+4\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}$ pour tout réel x de l'intervalle $\left[-20;20\right]$.

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[-20;20\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=-2x+30& \text{;}& u\prime \left(x\right)=-2\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}\end{array}$.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[-20;20\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& -2{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}+\left(-2x+30\right)\times \mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}\\ & =& \left(-2-\mathrm{0,4}x+6\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}\\ & =& \left(-\mathrm{0,4}x+4\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[-20;20\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,4}x+4\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}$.

      ---

   2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[-20;20\right]$. On précisera la valeur exacte du maximum de f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(-\mathrm{0,4}x+4\right)$ sur l'intervalle $\left[-20;20\right]$.

      Comme pour tout réel x, $-\mathrm{0,4}x+4⩽0\iff x⩾10$, on en déduit le tableau établissant le signe de $f\prime$ ainsi que les variations de la fonction f :

      x	$-20$		10		20
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	$70{\mathrm{e}}^{-7}$		$10{\mathrm{e}}^{-1}$		$-10\mathrm{e}$

      ---

2. 1. Montrer que, sur l'intervalle $\left[-20;20\right]$, l'équation $f\left(x\right)=-2$ admet une solution unique α.

      On a $f\left(-20\right)=70{\mathrm{e}}^{-7}$, $f\left(10\right)=10{\mathrm{e}}^{-1}$ et $f\left(20\right)=-10\mathrm{e}\approx -\mathrm{27,2}$.

      • Sur l'intervalle $\left[-20;10\right]$, la fonction f est strictement croissante et $f\left(-20\right)>0$. Donc pour tout réel x appartenant à $\left[-20;10\right]$, on a $f\left(x\right)>0$.

      • Sur l'intervalle $\left[10;20\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(20\right)<-2<f\left(10\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. l'équation $f\left(x\right)=-2$ admet une unique solution $\alpha \in \left[10;20\right]$.

      Ainsi, l'équation $f\left(x\right)=-2$ admet une unique solution α sur l'intervalle $\left[-20;20\right]$.

      ---

   2. Donner un encadrement de α d'amplitude 0,1.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $\mathrm{15,8}<\alpha <\mathrm{15,9}$.

      ---

3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

   1	Dériver $\left(-10x+200\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}$
   		$\left(-2x+30\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}$
   2	Dériver $\left(-2x+30\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}$
   		$\left(-\mathrm{0,4}x+4\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}$
   3	Dériver $\left(-\mathrm{0,4}x+4\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}$
   		$\left(-\mathrm{0,08}x+\mathrm{0,4}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}$

   Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats donnés par le logiciel :

   1. Calculer la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_{10}^{15}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      Soit F la fonction définie sur l'intervalle $\left[-20;20\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-10x+200\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}$.
      Pour tout réel x appartenant à $\left[-20;10\right]$, on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de la fonction f.

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{10}^{15}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(15\right)-F\left(10\right)\\ & =& 50{\mathrm{e}}^0-100{\mathrm{e}}^{-1}\\ & =& 50-100{\mathrm{e}}^{-1}\end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_{10}^{15}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=50-100{\mathrm{e}}^{-1}$.

      ---

   2. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est convexe et préciser l'abscisse du point d'inflexion.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$ définie sur l'intervalle $\left[-20;20\right]$ par $f″\left(x\right)=\left(-\mathrm{0,08}x+\mathrm{0,4}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}$.

      Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x-3}>0$ et $-\mathrm{0,08}x+\mathrm{0,4}⩾0\iff x⩽5$, on en déduit le tableau du signe de la dérivée seconde :

      x	$-20$		5		20
      $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

      La fonction f est convexe sur l'intervalle $\left[-20;5\right]$. La courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse 5.

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partie b

1. On appelle dénivelé d'une piste de ski, la différence d'altitude entre le point de départ et le point d'arrivée de cette piste.
   Calculer le dénivelé de cette nouvelle piste. On arrondira le résultat au mètre.

   $$f\left(10\right)-f\left(0\right)=10{\mathrm{e}}^{-1}-30{\mathrm{e}}^{-3}\approx \mathrm{2,185}$$

   Le dénivelé de cette nouvelle piste est d'environ 2185 m.

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2. La station de ski doit déterminer la difficulté de cette nouvelle piste en fonction de la pente.

   • La piste sera classée noire, c'est à dire très difficile, si au moins une portion de la piste à une pente supérieure ou égale à 40 %.
   • La piste sera classée rouge, c'est à dire difficile, si au moins une portion de la piste à une pente strictement comprise entre 25 % et 40 % (et aucune portion avec une pente supérieure ou égale à 40 %).
   • Si toutes les portions de la piste ont une pente inférieure ou égale à 25 % alors la piste sera classée bleue, c'est-à-dire facile.

   Déterminer le niveau de difficulté de cette nouvelle piste. Justifier la réponse.

   Les variations de la dérivée $f\prime$ se déduisent du signe de la dérivée seconde :

   x	0		5		10
   $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\prime \left(x\right)$	$4{\mathrm{e}}^{-3}$		$2{\mathrm{e}}^{-2}$		0

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   Sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ le maximum de la fonction $f\prime$ est égal à $2{\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{0,27}$.

   La pente maximale de la piste est d'environ 27 % donc la piste sera classée rouge.

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