Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers 2017

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La renouée du Japon est une plante à croissance très rapide et très invasive.
Un jardinier souhaite faire disparaître de son terrain cette espèce qui occupe une superficie de 120 m2 au 1er janvier 2017. Pour cela, chaque année au printemps, il procède à un arrachage qui permet de réduire de 10 % la superficie de terrain envahi l'année précédente. Cependant, cette espèce de plante ayant une puissance de dissémination très importante, de nouvelles pousses apparaissent chaque été et envahissent une nouvelle parcelle de terrain d'une superficie de 4 m2.

  1. Déterminer la superficie de terrain envahi par cette plante au 1er janvier 2018.

    120×1-10100+4=112

    Au 1er janvier 2018, la superficie de terrain envahi par cette plante sera de 112 m2.


On modélise la situation par une suite unun représente la superficie de terrain en m2 envahi par la Renouée du Japon au 1er janvier de l'année 2017+n.
La suite un est donc définie par u0=120 et, pour tout entier naturel n, par un+1=0,9un+4.

  1. Le jardinier souhaite connaître l'année à partir de laquelle il aura réduit au moins de moitié la superficie de terrain envahi par rapport au 1er janvier de l'année 2017.
    Recopier et compléter les lignes L1, L3, L4 et L7 de l'algorithme suivant afin qu'il détermine l'année souhaitée.
    On ne demande pas de faire fonctionner l' algorithme.

    L1U prend la valeur 120
    L2N prend la valeur 0
    L3Tant que U60
    L4U prend la valeur 0,9×U+4
    L5N prend la valeur N+1
    L6Fin Tant que
    L7Afficher 2017+n
  2. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=un-40.

    1. Montrer que la suite vn est une suite géométrique de raison q=0,9 et préciser le premier terme.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-40=0,9un+4-40=0,9un-36=0,9×un-40=0,9vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=0,9vn donc vn est une suite géométrique de raison 0,9 dont le premier terme v0=120-40=80.


    2. Exprimer vn en fonction de n, pour tout entier naturel n.

      vn est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme v0=80 donc pour tout entier naturel n, on a vn=80×0,9n.


    3. Justifier que un=80×0,9n+40 pour tout entier naturel n.

      Comme pour tout entier naturel n, vn=un-40un=vn+40 on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, un=80×0,9n+40


    1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation 80×0,9n+4060.

      Pour tout entier n : 80×0,9n+40600,9n2080ln0,9nln0,25 La fonction  ln est strictement croissanten×ln0,9ln0,25Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnanln0,25ln0,9ln0,9<0

      Comme ln0,25ln0,913,2 alors :

      Les solutions entières de l'inéquation 80×0,9n+4060 sont les entiers n14.


    2. En déduire l'année à partir de laquelle la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1er janvier de l'année 2017.

      C'est à partir de 2031 que la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1er janvier de l'année 2017.


  3. Le jardinier arrivera-t-il à faire disparaître complètement la plante de son terrain ? Justifier la réponse.

    L'équation 80×0,9n+40=080×0,9n=-40 n'a pas de solution !

    Le jardinier n'arrivera pas à faire disparaître complètement la plante de son terrain.



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