sujet : Centres Étrangers 2017

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

La renouée du Japon est une plante à croissance très rapide et très invasive.
Un jardinier souhaite faire disparaître de son terrain cette espèce qui occupe une superficie de 120 m² au 1^er janvier 2017. Pour cela, chaque année au printemps, il procède à un arrachage qui permet de réduire de 10 % la superficie de terrain envahi l'année précédente. Cependant, cette espèce de plante ayant une puissance de dissémination très importante, de nouvelles pousses apparaissent chaque été et envahissent une nouvelle parcelle de terrain d'une superficie de 4 m².

1. Déterminer la superficie de terrain envahi par cette plante au 1^er janvier 2018.

   $$120\times \left(1-{\displaystyle \frac{10}{100}}\right)+4=112$$

   Au 1^er janvier 2018, la superficie de terrain envahi par cette plante sera de 112 m².

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On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente la superficie de terrain en m² envahi par la Renouée du Japon au 1^er janvier de l'année $2017+n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par $u_0=120$ et, pour tout entier naturel n, par $u_{n+1}=\mathrm{0,9}{u}_n+4$.

2. Le jardinier souhaite connaître l'année à partir de laquelle il aura réduit au moins de moitié la superficie de terrain envahi par rapport au 1^er janvier de l'année 2017.
   Recopier et compléter les lignes L1, L3 et L4 de l'algorithme suivant afin qu'il détermine l'année souhaitée.
   On ne demande pas de faire fonctionner l' algorithme.

   L1	$U\leftarrow 120$
   L2	$N\leftarrow 0$
   L3	Tant que $U⩾60$
   L4	$U\leftarrow \mathrm{0,9}\times U+4$
   L5	$N\leftarrow N+1$
   L6	Fin Tant que

3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-40$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{0,9}$ et préciser le premier terme.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-40\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}{u}_n+4-40\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}{u}_n-36\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}\times \left(u_n-40\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,9}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,9}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 dont le premier terme $v_0=120-40=80$.

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   2. Exprimer $v_n$ en fonction de n, pour tout entier naturel n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $v_0=80$ donc pour tout entier naturel n, on a $v_n=80\times {\mathrm{0,9}}^n$.

      ---

   3. Justifier que $u_n=80\times {\mathrm{0,9}}^n+40$ pour tout entier naturel n.

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-40\iff u_n=v_n+40$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, $u_n=80\times {\mathrm{0,9}}^n+40$

      ---

4. 1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $80\times {\mathrm{0,9}}^n+40⩽60$.

      Pour tout entier n : $$\begin{array}{rcll}80\times {\mathrm{0,9}}^n+40⩽60& \iff & {\mathrm{0,9}}^n⩽{\displaystyle \frac{20}{80}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,9}}^n\right)⩽\ln \left(\mathrm{0,25}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \left(\mathrm{0,9}\right)⩽\ln \left(\mathrm{0,25}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,25}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,9}\right)}}& \ln \mathrm{0,9}<0\end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,25}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,9}\right)}}\approx \mathrm{13,2}$ alors :

      Les solutions entières de l'inéquation $80\times {\mathrm{0,9}}^n+40⩽60$ sont les entiers $n⩾14$.

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   2. En déduire l'année à partir de laquelle la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1^er janvier de l'année 2017.

      C'est à partir de 2031 que la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1^er janvier de l'année 2017.

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5. Le jardinier arrivera-t-il à faire disparaître complètement la plante de son terrain ? Justifier la réponse.

   L'équation $\begin{array}{rcl}80\times {\mathrm{0,9}}^n+40=0& \iff & 80\times {\mathrm{0,9}}^n=-40\end{array}$ n'a pas de solution !

   Le jardinier n'arrivera pas à faire disparaître complètement la plante de son terrain.

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