Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Centres Étrangers 2017

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Un parti politique organise une élection en son sein pour désigner son candidat à l'élection présidentielle. Seuls les adhérents de ce parti peuvent voter à cette élection et ils ont le choix entre deux candidats A et B.
Pendant la campagne électorale, certains adhérents indécis changent d'avis.

Un institut de sondage consulte chaque mois le même échantillon d'adhérents et recueille leurs intentions de vote.
Il observe que l'évolution de l'état de l'opinion peut être modélisée de la façon suivante.
Chaque mois :

5 % des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat A le mois précédent changent d'avis et déclarent vouloir voter pour le candidat B.
3 % des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat B le mois précédent déclarent vouloir voter pour le candidat A.

Au début de la campagne électorale, 65 % des adhérents déclarent vouloir voter pour le candidat A. On représente ce modèle par un graphe probabiliste (𝒢) de sommets A et B où :

A est l'évènement : « l'adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A » ;
B est l'évènement : « l'adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B ».

Dans la suite de l'exercice, on note :

$a_{n}$ la probabilité qu'un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A, le n-ième mois après le début de la campagne. On a donc $a_{0} = 0,65$ .
$b_{n}$ la probabilité qu'un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B, le n-ième mois après le début de la campagne.

On note $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ l'état probabiliste correspondant aux intentions de vote le n-ième mois après le début de la campagne. On a donc $P_{0} = (\begin{matrix} 0,65 & 0,35 \end{matrix})$ .

1. Dessiner le graphe probabiliste (𝒢) de sommets A et B.
  On estime que, chaque mois :
  - 5 % des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat A le mois précédent changent d'avis et déclarent vouloir voter pour le candidat B. d'où $p_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,05$ et $p_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 1 - 0,05 = 0,95$ .
  - 3 % des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat B le mois précédent déclarent vouloir voter pour le candidat A. d'où $p_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,03$ et $p_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,03 = 0,97$ .
  D'où le graphe probabiliste (𝒢) correspondant à cette situation :
2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
  La matrice de transition de ce graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ est : $M = (\begin{matrix} 0,95 & 0,05 \\ 0,03 & 0,97 \end{matrix})$ .
Démontrer que $P_{1} = (\begin{matrix} 0,628 & 0,372 \end{matrix})$ .
M est la matrice de transition du graphe d'où $P_{1} = P_{0} \times M$ soit : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 0,65 & 0,35 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,95 & 0,05 \\ 0,03 & 0,97 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 0,65 \times 0,95 + 0,35 \times 0,03 & 0,65 \times 0,05 + 0,35 \times 0,97 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 0,628 & 0,372 \end{matrix}) \end{array}$
Ainsi, $P_{1} = (\begin{matrix} 0,628 & 0,372 \end{matrix})$ .
On note $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ l'état stable associé à ce graphe.
1. Démontrer que les nombres a et b sont solutions du système ${\begin{array}{lcr} 0,05 a - 0,03 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array}$ .
  Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ avec $a + b = 1$ et vérifiant : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,95 & 0,05 \\ 0,03 & 0,97 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,95 a + 0,03 b & 0,05 a + 0,97 b \end{matrix}) \\ soit & {\begin{matrix} a = 0,95 a + 0,03 b \\ b = 0,05 a + 0,97 b \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 0,05 a - 0,03 b = 0 \\ - 0,05 a + 0,03 b = 0 \end{matrix} \end{array}$
  D'où a et b vérifient la relation $0,05 a - 0,03 b = 0$ . Comme d'autre part, $a + b = 1$ on en déduit que a et b sont solutions du système : ${\begin{array}{lcr} 0,05 a - 0,03 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array}$ .
2. Résoudre le système précédent.
  $\begin{array}{rcl} {\begin{array}{lcr} 0,05 a - 0,03 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{lcl} 0,08 a & = & 0,03 \\ a + b & = & 1 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} a = \frac{3}{8} \\ b = \frac{5}{8} \end{matrix} \end{array}$
  L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} 0,375 & 0,625 \end{matrix})$ .
3. Interpréter dans le contexte de l'exercice la solution obtenue à la question 3. b.
  À partir d'un certain temps, tous les mois, 37,5 % des adhérents vont voter pour le candidat A et 62,5 % des adhérents voteront pour le candidat B.
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a $a_{n + 1} = 0,92 a_{n} + 0,03$ .
  M est la matrice de transition du graphe d'où pour tout entier naturel n, on a $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ . Soit pour tout entier naturel n : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,95 & 0,05 \\ 0,03 & 0,97 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} a_{n} \times 0,95 + b_{n} \times 0,03 & a_{n} \times 0,05 + b_{n} \times 0,97 \end{matrix}) \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,95 a_{n} + 0,03 b_{n}$ avec $a_{n} + b_{n} = 1$ d'où $\begin{array}{rcl} a_{n + 1} & = & 0,95 a_{n} + 0,03 \times (1 - a_{n}) \\ = & 0,95 a_{n} + 0,03 - 0,03 a_{n} \\ = & 0,92 a_{n} + 0,03 \end{array}$
  Pour tout entier naturel n, on a $a_{n + 1} = 0,92 a_{n} + 0,03$ .
2. On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = a_{n} - 0,375$ .
  Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,92$ et préciser le premier terme.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,375 \\ = & 0,92 a_{n} + 0,03 - 0,375 \\ = & 0,92 a_{n} - 0,345 \\ = & 0,92 \times (a_{n} - 0,375) \\ = & 0,92 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,92 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,92 dont le premier terme $v_{0} = 0,65 - 0,375 = 0,275$ .
3. Pour tout entier naturel n, exprimer $v_{n}$ en fonction de n et en déduire que : $a_{n} = 0,275 \times {0,92}^{n} + 0,375$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme $v_{0} = 0,275$ donc pour tout entier naturel n, $v_{n} = 0,275 \times {0,92}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = a_{n} - 0,375 \Leftrightarrow a_{n} = v_{n} + 0,375$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, on a $a_{n} = 0,275 \times {0,92}^{n} + 0,375$ .
La campagne électorale dure 11 mois. Si la modélisation de l'institut de sondage est valable, quel candidat sera probablement élu ? Justifier la réponse.
On peut calculer au choix : $\begin{array}{ll} a_{11} = 0,275 \times {0,92}^{11} + 0,375 \approx 0,485 \\ ou & P_{11} = (\begin{matrix} 0,65 & 0,35 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,95 & 0,05 \\ 0,03 & 0,97 \end{matrix})}^{11} \approx (\begin{matrix} 0,485 & 0,515 \end{matrix}) \end{array}$
Si la campagne électorale dure 11 mois, selon cette estimation, le candidat B sera probablement élu avec environ 51,5 % des voix.

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