sujet : Centres Étrangers 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

1. Traduire la situation par un arbre pondéré.

   • 40 % des embarcations louées sont des pédalos d'où $p\left(A\right)=\mathrm{0,4}$ ;
   • 35 % des embarcations louées sont des kayaks $p\left(B\right)=\mathrm{0,35}$ ;
   • les autres embarcations louées sont des bateaux électriques $p\left(C\right)=1-\left(\mathrm{0,4}+\mathrm{0,35}\right)=\mathrm{0,25}$ ;
   • 60 % des pédalos sont loués pour une durée de 1 heure d'où $p_A\left(D\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_A\left(E\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$ ;
   • 70 % des kayaks sont loués pour une durée de 1 heure d'où $p_B\left(D\right)=\mathrm{0,7}$ et $p_B\left(E\right)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$ ;
   • la moitié des bateaux électriques sont loués pour une durée de 1 heure d'où $p_C\left(D\right)=\mathrm{0,5}$ et $p_C\left(E\right)=1-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. Calculer la probabilité $p\left(A\cap E\right)$.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(A\cap E\right)=p_A\left(E\right)\times p\left(A\right)& \text{soit}& p\left(A\cap E\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,16}\end{array}$$

   La probabilité que le touriste loue un pédalo pour une durée de deux heures est égale à 0,16.

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3. Montrer que la probabilité que l'embarcation soit louée pour une durée de 2 heures est égale à 0,39.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(D\right)=p\left(A\cap E\right)+p\left(B\cap E\right)+p\left(C\cap E\right)$$

   Or $$\begin{array}{rrcl}& p\left(B\cap E\right)=p_B\left(E\right)\times p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(B\cap E\right)=\mathrm{0,35}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,105}\\ \text{et}& p\left(C\cap E\right)=p_C\left(E\right)\times p\left(C\right)& \text{soit}& p\left(C\cap E\right)=\mathrm{0,25}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,125}\end{array}$$

   Ainsi, $$p\left(D\right)=\mathrm{0,16}+\mathrm{0,105}+\mathrm{0,125}=\mathrm{0,39}$$

   La probabilité que l'embarcation soit louée pour une durée de 2 heures est égale à 0,39.

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4. Sachant que l'embarcation a été louée pendant 2 heures, quelle est la probabilité que ce soit un bateau électrique ? Arrondir le résultat au centième.

   $$\begin{array}{ccc}{p}_E\left(C\right)={\displaystyle \frac{p\left(C\cap E\right)}{p\left(E\right)}}& \text{Soit}& p_E\left(C\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,125}}{\mathrm{0,39}}}\approx \mathrm{0,32}\end{array}$$

   Arrondie au centième près, la probabilité qu'une embarcation qui a été louée pendant 2 heures soit un bateau électrique est 0,32.

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5. La base nautique pratique les tarifs suivants :

   	1 heure	2 heures
   Pédalo	15 €	25 €
   Kayak	10 €	16 €
   Bateau électrique	35 €	60 €

   En moyenne, 200 embarcations sont louées par jour. Déterminer la recette journalière que peut espérer la base nautique.

   Notons T la variable aléatoire correspondant au tarif d'une location. Nous avons :

   • $p\left(T=15\right)=p\left(A\cap D\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,24}$ et $p\left(T=25\right)=p\left(A\cap E\right)=\mathrm{0,16}$

   • $p\left(T=10\right)=p\left(B\cap D\right)=\mathrm{0,35}\times \mathrm{0,7}=\mathrm{0,245}$ et $p\left(T=16\right)=p\left(B\cap E\right)=\mathrm{0,105}$

   • $p\left(T=35\right)=p\left(C\cap D\right)=\mathrm{0,25}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,125}$ et $p\left(T=60\right)=p\left(C\cap E\right)=\mathrm{0,125}$

   La loi de probabilité de T est :

   T	10	15	16	25	35	60
   Probabilité	0,245	0,24	0,105	0,16	0,125	0,125

   L'espérance mathématique de T est :$$E\left(T\right)=10\times \mathrm{0,245}+15\times \mathrm{0,24}+16\times \mathrm{0,105}+25\times \mathrm{0,16}+35\times \mathrm{0,125}+60\times \mathrm{0,125}=\mathrm{23,605}$$

   Le montant en euros, de la recette journalière est :$$R=200\times \mathrm{23,605}=4721$$

   La recette journalière que peut espérer la base nautique est de 4721 €.

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partie b

Dans cette partie les résultats seront arrondis au millième.

Les bateaux électriques sont équipés d'une batterie d'une autonomie moyenne de 500 minutes.
Les batteries des bateaux sont rechargées uniquement à la fin de chaque journée d'utilisation.
On note X la variable aléatoire correspondant à la durée de fonctionnement de la batterie d'un bateau, exprimée en minutes. On admet que X suit la loi normale d'espérance $\mu =500$ et d'écart-type $\sigma =10$.

1. À l'aide de la calculatrice, calculer $p\left(490<X<520\right)$.

   $p\left(490<X<520\right)\approx \mathrm{0,819}$.

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2. Chaque jour, les bateaux sont utilisés pendant une durée de 8 heures sans être rechargés. Déterminer la probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant la fin de la journée.

   Une durée de 8 heures correspond à 480 minutes. $$\begin{array}{rcl}p\left(X<480\right)& =& p\left(X⩽500\right)-p\left(480⩽X⩽500\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-p\left(480⩽X⩽500\right)\approx \mathrm{0,023}\end{array}$$

   La probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant la fin de la journée est 0,023.

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3. Déterminer l'entier a tel que $p\left(X<a\right)\approx \mathrm{0,01}$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

   À l'aide de la calculatrice, on trouve $p\left(X<a\right)\approx \mathrm{0,01}$ pour $a\approx 477$.

   La probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant 477 minutes est environ 0,01.

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