Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une base nautique propose la location de différentes embarcations pour visiter les gorges du Verdon. Les touristes peuvent louer des kayaks, des pédalos ou des bateaux électriques, pour une durée de 1 heure ou 2 heures.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Une étude statistique met en évidence que :

  • 40 % des embarcations louées sont des pédalos ;
  • 35 % des embarcations louées sont des kayaks ;
  • les autres embarcations louées sont des bateaux électriques ;
  • 60 % des pédalos sont loués pour une durée de 1 heure ;
  • 70 % des kayaks sont loués pour une durée de 1 heure ;
  • la moitié des bateaux électriques sont loués pour une durée de 1 heure.

On interroge au hasard un touriste qui vient pour louer une embarcation. On note A, B, C, D et E les évènements suivants :

  • A : « l'embarcation louée est un pédalo » ;
  • B : « l'embarcation louée est un kayak » ;
  • C :« l'embarcation louée est un bateau électrique » ;
  • D :« l'embarcation est louée pour une durée de 1 heure » ;
  • E : « l'embarcation est louée pour une durée de 2 heures ».
  1. Traduire la situation par un arbre pondéré.

    • 40 % des embarcations louées sont des pédalos d'où pA=0,4 ;
    • 35 % des embarcations louées sont des kayaks pB=0,35 ;
    • les autres embarcations louées sont des bateaux électriques pC=1-0,4+0,35=0,25 ;
    • 60 % des pédalos sont loués pour une durée de 1 heure d'où pAD=0,6 et pAE=1-0,6=0,4 ;
    • 70 % des kayaks sont loués pour une durée de 1 heure d'où pBD=0,7 et pBE=1-0,7=0,3 ;
    • la moitié des bateaux électriques sont loués pour une durée de 1 heure d'où pCD=0,5 et pCE=1-0,5=0,5.

    L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Calculer la probabilité pAE.

    pAE=pAE×pAsoitpAE=0,4×0,4=0,16

    La probabilité que le touriste loue un pédalo pour une durée de deux heures est égale à 0,16.


  3. Montrer que la probabilité que l'embarcation soit louée pour une durée de 2 heures est égale à 0,39.

    D'après la formule des probabilités totales : A 1 ,A 2 , , A n   forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p( B )=p( B A 1 )+p( B A 2 )++p( B A n )
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : pB =p B A +p B A¯
    pD=pAE+pBE+pCE

    Or pBE=pBE×pBsoitpBE=0,35×0,3=0,105etpCE=pCE×pCsoitpCE=0,25×0,5=0,125

    Ainsi, pD=0,16+0,105+0,125=0,39

    La probabilité que l'embarcation soit louée pour une durée de 2 heures est égale à 0,39.


  4. Sachant que l'embarcation a été louée pendant 2 heures, quelle est la probabilité que ce soit un bateau électrique ? Arrondir le résultat au centième.

    pEC=pCEpESoitpEC=0,1250,390,32

    Arrondie au centième près, la probabilité qu'une embarcation qui a été louée pendant 2 heures soit un bateau électrique est 0,32.


  5. La base nautique pratique les tarifs suivants :

    1 heure2 heures
    Pédalo15 €25 €
    Kayak10 €16 €
    Bateau électrique35 €60 €

    En moyenne, 200 embarcations sont louées par jour. Déterminer la recette journalière que peut espérer la base nautique.

    Notons T la variable aléatoire correspondant au tarif d'une location. Nous avons :

    • pT=15=pAD=0,4×0,6=0,24 et pT=25=pAE=0,16

    • pT=10=pBD=0,35×0,7=0,245 et pT=16=pBE=0,105

    • pT=35=pCD=0,25×0,5=0,125 et pT=60=pCE=0,125

    La loi de probabilité de T est :

    T101516253560
    Probabilité0,2450,240,1050,160,1250,125

    L'espérance mathématique de T est :ET=10×0,245+15×0,24+16×0,105+25×0,16+35×0,125+60×0,125=23,605

    Le montant en euros, de la recette journalière est :R=200×23,605=4721

    La recette journalière que peut espérer la base nautique est de 4721 €.


partie b

Dans cette partie les résultats seront arrondis au millième.

Les bateaux électriques sont équipés d'une batterie d'une autonomie moyenne de 500 minutes.
Les batteries des bateaux sont rechargées uniquement à la fin de chaque journée d'utilisation.
On note X la variable aléatoire correspondant à la durée de fonctionnement de la batterie d'un bateau, exprimée en minutes. On admet que X suit la loi normale d'espérance μ=500 et d'écart-type σ=10.

  1. À l'aide de la calculatrice, calculer p490<X<520.

    p490<X<5200,819.


  2. Chaque jour, les bateaux sont utilisés pendant une durée de 8 heures sans être rechargés. Déterminer la probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant la fin de la journée.

    Une durée de 8 heures correspond à 480 minutes. pX<480=pX500-p480X500=0,5-p480X5000,023

    La probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant la fin de la journée est 0,023.


  3. Déterminer l'entier a tel que pX<a0,01. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

    À l'aide de la calculatrice, on trouve pX<a0,01 pour a477.

    La probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant 477 minutes est environ 0,01.



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