Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France métropolitaine, la Réunion 2017

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième près.

  1. Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps T1 avant d'être pris en charge par le caissier. On considère que ce temps d'attente T1 exprimé en minute, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle 012.

    1. Quelle est la probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge ?

      T1 suit la loi uniforme sur l'intervalle 012 d'où :PT15=P5T112=12-512-0=712

      La probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge est égale à 7120,583.


    2. Quel est le temps moyen d'attente à une caisse ?

      L'espérance mathématique de T1 est :ET1=0+122=6

      Le temps moyen d'attente à une caisse est de 6 minutes.


  2. Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques, de façon à réduire le temps d'attente pour les clients ayant un panier contenant peu d'articles.
    Le temps d'attente T2, exprimé en minute, à chacune de ces caisses automatiques est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 5 et d'écart type 1,5.
    Calculer la probabilité que le temps d'attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 minute et 6 minutes.

    À l'aide de la calculatrice, on trouve P0,75T260,745.

    La probabilité que le temps d'attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 minute et 6 minutes vaut 0,745.


  3. Ces caisses automatiques tombent souvent en panne. On donne les informations suivantes.

    • Le nombre de caisses automatiques est n=10.
    • La probabilité qu'une caisse automatique tombe en panne pendant une journée donnée est p=0,1.
    • Une panne constatée sur une caisse automatique n'influence pas les autres caisses automatiques.

    Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de caisses automatiques qui tombent en panne pendant une journée donnée.

    1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Préciser ses paramètres.

      Une panne constatée sur une caisse automatique n'influence pas les autres caisses automatiques par conséquent, X suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,1.


    2. Calculer la probabilité pour qu'aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée.

      PX=0=1-0,1100,349

      La probabilité pour qu'aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée est 0,349.


  4. Sur la devanture de son magasin, le gérant du supermarché affiche :
    « Plus de 90 % des clients de notre magasin sont satisfaits par la mise en place de nos caisses automatiques.»
    Une association de consommateurs souhaite examiner cette affirmation. Pour cela, elle réalise un sondage : 860 clients sont interrogés, et 763 d'entre eux se disent satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques. Cela remet-il en question l'affirmation du gérant ?

    Question ambiguë qui peut donner lieu à deux interprétations :

    • On cherche à vérifier l'hypothèse : « 90 % des clients sont satisfaits »

      La fréquence f de clients satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques dans l'échantillon est :f=7638600,887

      Comme n=860, n×p=860×0,9=774 et n×1-p=860×0,1=86, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est : I=0,9-1,96×0,9×0,18600,9+1,96×0,9×0,1860

      Soit avec des valeurs approchées à 10-3 près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de clients satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques dans un échantillon aléatoire de 860 candidats est I=0,8790,921.

      La fréquence f appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On accepte l'affirmation du gérant.


    • On effectue un sondage pour « estimer si la proportion de clients satisfaits peut être supériere à 90 % »

      La fréquence f de clients satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques dans l'échantillon est :f=763860

      Un intervalle de confiance de la proportion de clients satisfaits au sein de la clientèle au niveau de confiance 0,95 est IC=763860-1860763860+1860

      Soit avec des valeurs approchées à 10-3 près des bornes de l'intervalle, un intervalle de confiance au niveau 95 % de la proportion de clients satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques dans un échantillon aléatoire de 860 candidats est IC=0,850,922.

      D'après ce sondage, il est possible que la proportion de clients satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques soit supérieure à 90 %.



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