sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2017

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième près.

1. Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps $T_1$ avant d'être pris en charge par le caissier. On considère que ce temps d'attente $T_1$ exprimé en minute, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0;12\right]$.

   1. Quelle est la probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge ?

      $T_1$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ d'où :$$P\left(T_1⩾5\right)=P\left(5⩽T_1⩽12\right)={\displaystyle \frac{12-5}{12-0}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$$

      La probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge est égale à ${\displaystyle \frac{7}{12}}\approx \mathrm{0,583}$.

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   2. Quel est le temps moyen d'attente à une caisse ?

      L'espérance mathématique de $T_1$ est :$$E\left(T_1\right)={\displaystyle \frac{0+12}{2}}=6$$

      Le temps moyen d'attente à une caisse est de 6 minutes.

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2. Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques, de façon à réduire le temps d'attente pour les clients ayant un panier contenant peu d'articles.
   Le temps d'attente $T_2$, exprimé en minute, à chacune de ces caisses automatiques est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 5 et d'écart type 1,5.
   Calculer la probabilité que le temps d'attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 minute et 6 minutes.

   À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(\mathrm{0,75}⩽T_2⩽6\right)\approx \mathrm{0,745}$.

   La probabilité que le temps d'attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 minute et 6 minutes vaut 0,745.

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3. Ces caisses automatiques tombent souvent en panne. On donne les informations suivantes.

   • Le nombre de caisses automatiques est $n=10$.
   • La probabilité qu'une caisse automatique tombe en panne pendant une journée donnée est $p=\mathrm{0,1}$.
   • Une panne constatée sur une caisse automatique n'influence pas les autres caisses automatiques.

   Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de caisses automatiques qui tombent en panne pendant une journée donnée.

   1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Préciser ses paramètres.

      Une panne constatée sur une caisse automatique n'influence pas les autres caisses automatiques par conséquent, X suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\mathrm{0,1}$.

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   2. Calculer la probabilité pour qu'aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée.

      $P\left(X=0\right)={\left(1-\mathrm{0,1}\right)}^{10}\approx \mathrm{0,349}$

      La probabilité pour qu'aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée est 0,349.

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4. Sur la devanture de son magasin, le gérant du supermarché affiche :
   « Plus de 90 % des clients de notre magasin sont satisfaits par la mise en place de nos caisses automatiques.»
   Une association de consommateurs souhaite examiner cette affirmation. Pour cela, elle réalise un sondage : 860 clients sont interrogés, et 763 d'entre eux se disent satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques. Cela remet-il en question l'affirmation du gérant ?

   Question ambiguë qui peut donner lieu à deux interprétations :

   • On cherche à vérifier l'hypothèse : « 90 % des clients sont satisfaits »

     La fréquence f de clients satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques dans l'échantillon est :$$f={\displaystyle \frac{763}{860}}\approx \mathrm{0,887}$$

     Comme $n=860$, $n\times p=860\times \mathrm{0,9}=774$ et $n\times \left(1-p\right)=860\times \mathrm{0,1}=86$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,9}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,1}}{860}}};\mathrm{0,9}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,1}}{860}}}\right]\end{array}$$

     Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de clients satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques dans un échantillon aléatoire de 860 candidats est $I=\left[\mathrm{0,879};\mathrm{0,921}\right]$.

     La fréquence f appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On accepte l'affirmation du gérant.

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   • On effectue un sondage pour « estimer si la proportion de clients satisfaits peut être supériere à 90 % »

     La fréquence f de clients satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques dans l'échantillon est :$$f={\displaystyle \frac{763}{860}}$$

     Un intervalle de confiance de la proportion de clients satisfaits au sein de la clientèle au niveau de confiance 0,95 est $$\begin{array}{c}{I}_C=\left[{\displaystyle \frac{763}{860}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{860}}};{\displaystyle \frac{763}{860}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{860}}}\right]\end{array}$$

     Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, un intervalle de confiance au niveau 95 % de la proportion de clients satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques dans un échantillon aléatoire de 860 candidats est $I_C=\left[\mathrm{0,85};\mathrm{0,922}\right]$.

     D'après ce sondage, il est possible que la proportion de clients satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques soit supérieure à 90 %.

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