Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France métropolitaine, la Réunion 2017

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Au 1er janvier 2017, une association sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois :

  • 25 % des adhérents de l'association ne renouvellent pas leur adhésion ;
  • 12 nouvelles personnes décident d'adhérer à l'association.

partie a

On modélise le nombre d'adhérents de l'association par la suite un telle que u0=900 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,75×un+12.
Le terme un donne ainsi une estimation du nombre d'adhérents de l'association au bout de n mois.

  1. Déterminer une estimation du nombre d'adhérents au 1er mars 2017.

    u1=0,75×900+12=687etu2=0,75×687+12=527,25

    Au 1er mars 2017, l'association sportive compte 527 adhérents.


  2. On définit la suite vn par vn=un-48 pour tout entier naturel n.

    1. Montrer que vn est une suite géométrique de raison 0,75.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-48=0,75un+12-48=0,75un-36=0,75×un-48=0,75vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=0,75vn donc vn est une suite géométrique de raison 0,75.


    2. Préciser v0 et exprimer vn en fonction de n.

      v0=900-48=852

      vn est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme v0=852 donc pour tout entier naturel n, on a vn=852×0,75n.


    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=852×0,75n+48.

      Comme pour tout entier naturel n, vn=un-48un=vn+48 on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, un=852×0,75n+48.


  3. La présidente de l'association déclare qu'elle démissionnera si le nombre d'adhérents devient inférieur à 100. Si on fait l'hypothèse que l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit de la même façon, faudra-t-il que la présidente démissionne ? Si oui, au bout de combien de mois ?

    On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation :852×0,75n+48<100852×0,75n<520,75n<52852ln0,75n<ln13213 La fonction  ln est strictement croissanten×ln0,75<ln13213Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnan>ln13213ln0,75ln0,75<0

    Comme ln13213ln0,759,7 alors le plus petit entier n solution de l'inéquation 852×0,75n+480<100 est n=10.

    Selon ce modèle, la présidente devra démissionner au bout de 10 mois.


partie b

Chaque adhérent verse une cotisation de 10 euros par mois. Le trésorier de l'association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l'année 2017.
Le trésorier souhaite utiliser l'algorithme suivant dans lequel la quatrième et la dernière ligne sont restées incomplètes (pointillés).

  1. Recopier et compléter l'algorithme de façon qu'il calcule le montant total des cotisations de l'année 2017.

    S0
    U900

    Pour N allant de 1 à 12
    SS+U
    U0,75U+12
    Fin Pour

    S10×S

  2. Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l'association pendant l'année 2017 ?

    On peut progrmmer l'algorithme précédent sur la calculatrice, ou calculer :S=10×u0+u1++u11nombre d'adhérents=10×v0+48+v1+48++v11+48=10×v0+v1++v11suite géométrique+12×48=10×852×1-0,75121-0,75+12×4838760

    La somme totale des cotisations perçues par l'association pendant l'année 2017 est d'environ 38760 euros.



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