Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2017

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Au 1^er janvier 2017, une association sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois :

25 % des adhérents de l'association ne renouvellent pas leur adhésion ;
12 nouvelles personnes décident d'adhérer à l'association.

partie a

On modélise le nombre d'adhérents de l'association par la suite $(u_{n})$ telle que $u_{0} = 900$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,75 \times u_{n} + 12$ .
Le terme $u_{n}$ donne ainsi une estimation du nombre d'adhérents de l'association au bout de n mois.

Déterminer une estimation du nombre d'adhérents au 1^er mars 2017.
$\begin{array}{ll} u_{1} = 0,75 \times 900 + 12 = 687 \\ et & u_{2} = 0,75 \times 687 + 12 = 527,25 \end{array}$
Au 1^er mars 2017, l'association sportive compte 527 adhérents.
On définit la suite $(v_{n})$ par $v_{n} = u_{n} - 48$ pour tout entier naturel n.
1. Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 48 \\ = & 0,75 u_{n} + 12 - 48 \\ = & 0,75 u_{n} - 36 \\ = & 0,75 \times (u_{n} - 48) \\ = & 0,75 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,75 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75.
2. Préciser $v_{0}$ et exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
  $v_{0} = 900 - 48 = 852$
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme $v_{0} = 852$ donc pour tout entier naturel n, on a $v_{n} = 852 \times {0,75}^{n}$ .
3. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 852 \times {0,75}^{n} + 48$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 48 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 48$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 852 \times {0,75}^{n} + 48$ .
La présidente de l'association déclare qu'elle démissionnera si le nombre d'adhérents devient inférieur à 100. Si on fait l'hypothèse que l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit de la même façon, faudra-t-il que la présidente démissionne ? Si oui, au bout de combien de mois ?
On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcll} 852 \times {0,75}^{n} + 48 < 100 & \Leftrightarrow & 852 \times {0,75}^{n} < 52 \\ \Leftrightarrow & {0,75}^{n} < \frac{52}{852} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,75}^{n}) < \ln \frac{13}{213} & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,75 < \ln \frac{13}{213} & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln \frac{13}{213}}{\ln 0,75} & \ln 0,75 < 0 \end{array}$
Comme $\frac{\ln \frac{13}{213}}{\ln 0,75} \approx 9,7$ alors le plus petit entier n solution de l'inéquation $852 \times {0,75}^{n} + 480 < 100$ est $n = 10$ .
Selon ce modèle, la présidente devra démissionner au bout de 10 mois.

partie b

Chaque adhérent verse une cotisation de 10 euros par mois. Le trésorier de l'association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l'année 2017.
Le trésorier souhaite utiliser l'algorithme suivant dans lequel la quatrième et la dernière ligne sont restées incomplètes (pointillés).

Recopier et compléter l'algorithme de façon qu'il calcule le montant total des cotisations de l'année 2017.
$S \leftarrow 0$
$U \leftarrow 900$
Pour N allant de 1 à 12
$S \leftarrow S + U$
$U \leftarrow 0,75 U + 12$
Fin Pour
$S \leftarrow 10 \times S$
Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l'association pendant l'année 2017 ?
On peut progrmmer l'algorithme précédent sur la calculatrice, ou calculer : $\begin{array}{rcl} S & = & 10 \times \overset{nombre d'adhérents}{\overset{⏞}{(u_{0} + u_{1} + \dots + u_{11})}} \\ = & 10 \times (v_{0} + 48 + v_{1} + 48 + \dots + v_{11} + 48) \\ = & 10 \times (\underset{suite géométrique}{\underset{⏟}{v_{0} + v_{1} + \dots + v_{11}}} + 12 \times 48) \\ = & 10 \times (852 \times \frac{1 - {0,75}^{12}}{1 - 0,75} + 12 \times 48) \approx 38760 \end{array}$
La somme totale des cotisations perçues par l'association pendant l'année 2017 est d'environ 38760 euros.

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