Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on considère le premier chiffre des entiers naturels non nuls, en écriture décimale. Par exemple, le premier chiffre de 2017 est 2 et le premier chiffre de 95 est 9.
Dans certaines circonstances, le premier chiffre d'un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire X telle que pour tout entier c compris entre 1 et 9, $P (X = c) = \frac{\ln (c + 1) - \ln (c)}{\ln (10)}$ Cette loi est appelée loi de Benford.

Que vaut $P (X = 1)$ ?
$P (X = 1) = \frac{\ln (2) - \ln (1)}{\ln (10)} = \frac{\ln (2)}{\ln (10)}$
$P (X = 1) = \frac{\ln (2)}{\ln (10)}$ .
On souhaite examiner si la loi de Benford est un modèle valide dans deux cas particuliers.
1. Premier cas.
  Un fichier statistique de l'INSEE indique la population des communes en France au 1^er janvier 2016 (champ: France métropolitaine et départements d'outre-mer de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Martinique et de la Réunion).
  À partir de ce fichier, on constate qu'il y a 36677 communes habitées. Parmi elles, il y a 11094 communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre 1.
  Cette observation vous semble-t-elle compatible avec l'affirmation : « le premier chiffre de la population des communes en France au 1^er janvier 2016 suit la loi de Benford » ?
  La fréquence des communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre 1 est $f_{1} = \frac{11094}{36677} \approx 0,302$ et, $\frac{\ln (2)}{\ln (10)} \approx 0,301$
  La fréquence des communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre 1 est proche de la valeur $P (X = 1)$ mais, comme on ne connaît pas la distribution des communes dont la population est un nombre qui commence par un autre chiffre que le 1, on ne peut pas conclure que « le premier chiffre de la population des communes en France au 1^er janvier 2016 suit la loi de Benford ».
2. Deuxième cas.
  Pour chaque candidat au baccalauréat de la session 2017, on considère sa taille en centimètres.
  On désigne par X la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres d'un candidat pris au hasard.
  La loi de Benford vous semble-t-elle une loi adaptée pour X ?
  La taille de la majorité des candidats est comprise entre 100 cm et 200 cm. Il n'existe pas de candidat dont la taille est par exemple comprise entre 30 cm et 40 cm ou supérieure à 3 m !
  La loi de Benford n'est certainement pas adaptée pour modéliser la loi de probabilité de X.

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