Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France métropolitaine, la Réunion 2017

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication.
Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l'aide de deux fonctions f et g définies par : pour tout réel x de 01, fx=1-xe3x et gx=x2-2x+1.
Leurs courbes représentatives seront notées 𝒞f et 𝒞g.

Courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

dériver ((1-x)*exp(3x))
: -3*x*exp(3*x)+2*exp(3*x)
 
factoriser -3x*exp(3*x)+2*exp(3*x)
: exp(3x)*(-3x+2)
 
factoriser(dériver (exp(3x)(-3x+2)))
: 3*exp(3*x)(1-3x)

Lecture : la dérivée de la fonction f est donnée par fx=-3xe3x+2e3x, ce qui, après factorisation, donne fx=-3x+2e3x.

  1. Étudier sur 01 le signe de la fonction dérivée f, puis donner le tableau de variation de f sur 01 en précisant les valeurs utiles.

    f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle 01 par fx=-3x+2e3x.

    Comme pour tout réel x, e3x>0 alors, fx est du même signe que -3x+2 sur l'intervalle 01. Or pour tout réel x, -3x+20x23.

    Les variations de la fonction f se déduisant du signe de sa dérivée, nous pouvons établir le tableau du signe de f ainsi que les variations de la fonction f :

    x0231
    fx+0||
    fx

    1

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    e23

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    0


  2. La courbe 𝒞f possède un point d'inflexion. Déterminer ses coordonnées.

    D'après les résultats obtenus par le logiciel de calcul formel :

    La dérivée seconde de la fonction f est la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle 01 par fx=31-3xe3x.

    La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde f. Comme pour tout réel x, 31-3xe3x01-3x0x13 On en déduit le tableau du signe de la dérivée seconde :

    x0131
    fx+0||

    La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x=13 donc la courbe 𝒞f possède un point d'inflexion d'abscisse 13 et d'ordonnée f13=23×e.

    La courbe 𝒞f possède un point d'inflexion de coordonnées 132e3.


partie b

On se propose de calculer l'aire de la partie grisée sur le graphique.

  1. Vérifier que les points A et B de coordonnées respectives 10 et 01 sont des points communs aux courbes 𝒞f et 𝒞g.

    • f1=0 et g1=0.

      Le point A de coordonnées 10 est un point commun aux deux courbes 𝒞f et 𝒞g.


    • f0=1 et g0=1.

      Le point B de coordonnées 01 est un point commun aux deux courbes 𝒞f et 𝒞g.


  2. On admet que : pour tout x dans 01, fx-gx=1-xe3x-1+x.

    1. Justifier que pour tout x dans 01, e3x-10.

      0x103x3e0e3xe30e3x-1e3-1

      Ainsi, pour tout x dans 01, e3x-10.


    2. En déduire que pour tout x dans 01, e3x-1+x0.

      Sur l'intervalle 01 on a e3x-10 et x0 donc par somme deux nombres positifs, e3x-1+x0.

      Pour tout x dans 01, e3x-1+x0.


    3. Étudier le signe de fx-gx pour tout x dans 01.

      Comme pour tout x dans 01 on a e3x-1+x0 et 1-x0 alors, par produit, 1-xe3x-1+x0 pour tout x dans 01.

      Ainsi, fx-gx0 pour tout x dans 01.


    1. Calculer 01gxdx.

      Une primitive de la fonction g définie, pour tout réel x de 01, par gx=x2-2x+1 est la fonction G définie sur l'intervalle 01 par Gx=x33-x2+x.

      Par conséquent, 01gxdx=G1-G0=13

      01gxdx=13.


    2. On admet que : 01fxdx=e3-49. Calculer l'aire S, en unité d'aire, de la partie grisée. Arrondir le résultat au dixième.

      Sur l'intervalle x dans 01 on fx-gx0. Donc l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine grisé compris entre les deux courbes 𝒞f et 𝒞g est égal à l'intégrale : 01fx-gxdx=01fxdx-01gxdx=e3-49-13=e3-79

      L'aire S de la partie grisée est égale à e3-79 unité d'aire soit environ 1,5 unité d'aire.



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