sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2017

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Étudier sur $\left[0;1\right]$ le signe de la fonction dérivée $f\prime$, puis donner le tableau de variation de f sur $\left[0;1\right]$ en précisant les valeurs utiles.

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;1\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-3x+2\right){\mathrm{e}}^{3x}$.

   Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{3x}>0$ alors, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(-3x+2\right)$ sur l'intervalle $\left[0;1\right]$. Or pour tout réel x, $-3x+2⩽0\iff x⩾{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

   Les variations de la fonction f se déduisant du signe de sa dérivée, nous pouvons établir le tableau du signe de $f\prime$ ainsi que les variations de la fonction f :

   x	0		${\displaystyle \frac{2}{3}}$		1
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	1		$\frac{{\mathrm{e}}^2}{3}$		0

   ---

2. La courbe ${𝒞}_f$ possède un point d'inflexion. Déterminer ses coordonnées.

   D'après les résultats obtenus par le logiciel de calcul formel :

   La dérivée seconde de la fonction f est la fonction $f″$ définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;1\right]$ par $f″\left(x\right)=3\left(1-3x\right){\mathrm{e}}^{3x}$.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$. Comme pour tout réel x, $$\begin{array}{ccccc}3\left(1-3x\right){\mathrm{e}}^{3x}⩾0& \iff & 1-3x⩾0& \iff & x⩽{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$ On en déduit le tableau du signe de la dérivée seconde :

   x	0		${\displaystyle \frac{1}{3}}$		1
   $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ donc la courbe ${𝒞}_f$ possède un point d'inflexion d'abscisse ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ et d'ordonnée $f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}\times \mathrm{e}$.

   La courbe ${𝒞}_f$ possède un point d'inflexion de coordonnées $\left({\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{2\mathrm{e}}{3}}\right)$.

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partie b

On se propose de calculer l'aire de la partie grisée sur le graphique.

1. Vérifier que les points A et B de coordonnées respectives $\left(1;0\right)$ et $\left(0;1\right)$ sont des points communs aux courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$.

   • $f\left(1\right)=0$ et $g\left(1\right)=0$.

     Le point A de coordonnées $\left(1;0\right)$ est un point commun aux deux courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$.

     ---

   • $f\left(0\right)=1$ et $g\left(0\right)=1$.

     Le point B de coordonnées $\left(0;1\right)$ est un point commun aux deux courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$.

     ---

2. On admet que : pour tout x dans $\left[0;1\right]$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(1-x\right)\left({\mathrm{e}}^{3x}-1+x\right)$.

   1. Justifier que pour tout x dans $\left[0;1\right]$, ${\mathrm{e}}^{3x}-1⩾0$.

      $$\begin{array}{rcl}0⩽x⩽1& \iff & 0⩽3x⩽3\\ & \iff & {\mathrm{e}}^0⩽{\mathrm{e}}^{3x}⩽{\mathrm{e}}^3\\ & \iff & 0⩽{\mathrm{e}}^{3x}-1⩽{\mathrm{e}}^3-1\end{array}$$

      Ainsi, pour tout x dans $\left[0;1\right]$, ${\mathrm{e}}^{3x}-1⩾0$.

      ---

   2. En déduire que pour tout x dans $\left[0;1\right]$, ${\mathrm{e}}^{3x}-1+x⩾0$.

      Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ on a ${\mathrm{e}}^{3x}-1⩾0$ et $x⩾0$ donc par somme deux nombres positifs, ${\mathrm{e}}^{3x}-1+x⩾0$.

      Pour tout x dans $\left[0;1\right]$, ${\mathrm{e}}^{3x}-1+x⩾0$.

      ---

   3. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ pour tout x dans $\left[0;1\right]$.

      Comme pour tout x dans $\left[0;1\right]$ on a ${\mathrm{e}}^{3x}-1+x⩾0$ et $1-x⩾0$ alors, par produit, $\left(1-x\right)\left({\mathrm{e}}^{3x}-1+x\right)⩾0$ pour tout x dans $\left[0;1\right]$.

      Ainsi, $f\left(x\right)-g\left(x\right)⩾0$ pour tout x dans $\left[0;1\right]$.

      ---

3. 1. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{1}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      Une primitive de la fonction g définie, pour tout réel x de $\left[0;1\right]$, par $g\left(x\right)=x^2-2x+1$ est la fonction G définie sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ par $G\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2+x$.

      Par conséquent, $$\begin{array}{ccccc}{\displaystyle {\int }_0^{1}g\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& G\left(1\right)-G\left(0\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_0^{1}g\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

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   2. On admet que : ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^3-4}{9}}$. Calculer l'aire S, en unité d'aire, de la partie grisée. Arrondir le résultat au dixième.

      Sur l'intervalle x dans $\left[0;1\right]$ on $f\left(x\right)-g\left(x\right)⩾0$. Donc l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine grisé compris entre les deux courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$ est égal à l'intégrale : $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)-g\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_0^{1}g\left(x\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^3-4}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^3-7}{9}}\end{array}$$

      L'aire S de la partie grisée est égale à ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^3-7}{9}}$ unité d'aire soit environ 1,5 unité d'aire.

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