On donne ci-dessous la courbe représentative 𝒞 d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle . On note la fonction dérivée de cette fonction sur l'intervalle .
On dispose des renseignements suivants :
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
Affirmation 1
Les nombres et sont tous deux égaux à .
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe 𝒞 au point qui passe par le point . D'où :
Les droites T et T' étant parallèles, elles ont le même coefficient directeur. D'où :
L'affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2
La courbe ci-contre représente la fonction sur . |
Comme la courbe proposée ne peut pas représenter la dérivée de la fonction f.
L'affirmation 2 est fausse.
Affirmation 3
La fonction f est concave sur l'intervalle .
La courbe 𝒞 est en dessous de sa tangente T au point A d'abscisse et au dessus de sa tangente T' au point B d'abscisse .
On en déduit que sur l'intervalle , la fonction f change au moins une fois de convexité.
L'affirmation 3 est fausse.
Affirmation 4
Sur , toute primitive de f est croissante.
Sur l'intervalle , la fonction f est positive donc toute primitive de f est croissante sur .
L'affirmation 4 est vraie.
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