Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2017

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans une commune, l'école de musique propose des cours d'éveil musical.
En 2013, 20 % des enfants de la commune suivaient les cours d'éveil musical de cette école. Chaque année, 70 % des enfants inscrits restent dans l'école l'année suivante, et par ailleurs, 20 % des enfants de la commune qui n'y étaient pas inscrits viennent s'y ajouter.

Pour tout entier naturel n, on note :

$c_{n}$ la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical en $(2013 + n)$ ;
$d_{n}$ la proportion des enfants de la commune qui ne sont pas inscrits à cet éveil musical en $(2013 + n)$ ;
$E_{n} = (\begin{matrix} c_{n} & d_{n} \end{matrix})$ la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année $(2013 + n)$ .

Ainsi, on a $E_{0} = (\begin{matrix} 0,2 & 0,8 \end{matrix})$ .

On choisit au hasard un enfant de la commune.

partie a

Traduire la situation par un graphe probabiliste. On note :
- C l'état « l'enfant est inscrit aux cours d'éveil musical ».
- D l'état « l'enfant n'est pas inscrit aux cours d'éveil musical ».
En supposant que le nombre d'enfants de la commune n'évolue pas au cours du temps ! Chaque année :
- 70 % des enfants inscrits restent dans l'école l'année suivante d'où $p_{C_{n}} (C_{n + 1}) = 0,7$ et $p_{C_{n}} (D_{n + 1}) = 1 - 0,7 = 0,3$ .
- 20 % des enfants de la commune qui n'y étaient pas inscrits viennent s'y ajouter d'où $p_{D_{n}} (C_{n + 1}) = 0,2$ et $p_{D_{n}} (D_{n + 1}) = 1 - 0,2 = 0,8$ .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
Déterminer la matrice A de transition, c'est-à-dire la matrice vérifiant, pour tout entier naturel n, $E_{n + 1} = E_{n} \times A$ .
La matrice de transition de ce graphe probabiliste est : $A = (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{matrix})$ .
Déterminer $E_{1}$ et $E_{2}$ .
A est la matrice de transition du graphe d'où : $\begin{array}{lrcl} E_{1} = E_{0} \times A & soit & E_{1} = (\begin{matrix} 0,2 & 0,8 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,3 & 0,7 \end{matrix}) \\ et & E_{2} = E_{1} \times A & soit & E_{2} = (\begin{matrix} 0,3 & 0,7 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,35 & 0,5 \end{matrix}) \end{array}$
Ainsi, $E_{1} = (\begin{matrix} 0,3 & 0,7 \end{matrix})$ et $E_{2} = (\begin{matrix} 0,35 & 0,5 \end{matrix})$ .
Déterminer l'état probabiliste stable en justifiant votre réponse. Interpréter les résultats.
Les termes de la matrice de tansition A d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $E_{n}$ converge vers un état stable $E = (\begin{matrix} c & d \end{matrix})$ avec $c + d = 1$ et vérifiant : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} c & d \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,7 c + 0,2 d & 0,3 c + 0,8 d \end{matrix}) \\ soit & {\begin{matrix} c = 0,7 c + 0,2 d \\ d = 0,3 c + 0,8 d \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 0,3 c - 0,2 d = 0 \\ - 0,3 c + 0,2 d = 0 \end{matrix} \end{array}$ D'où c et d vérifient la relation $0,3 c - 0,2 d = 0$ . Comme d'autre part, $c + d = 1$ on en déduit que c et d sont solutions du système : $\begin{array}{rcl} {\begin{array}{lcr} 0,3 c - 0,2 d & = & 0 \\ c + d & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{lcl} 0,5 c & = & 0,2 \\ c + d & = & 1 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} c = 0,4 \\ d = 0,6 \end{matrix} \end{array}$
L'état stable du système est $E = (\begin{matrix} 0,4 & 0,6 \end{matrix})$ . À partir d'un certain nombre d'années, chaque année, 40 % environ des enfants de la commune suivront les cours d'éveil musical de cette école.

partie b

On rappelle que pour tout entier naturel n, on a $c_{n} + d_{n} = 1$ . Justifier que pour tout entier naturel n, on a $c_{n + 1} = 0,5 c_{n} + 0,2$ .
A est la matrice de transition du graphe d'où pour tout entier naturel n, on a $E_{n + 1} = E_{n} \times A$ . Soit pour tout entier naturel n : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} c_{n + 1} & d_{n + 1} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} c_{n} & d_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} c_{n} \times 0,7 + d_{n} \times 0,2 & c_{n} \times 0,3 + d_{n} \times 0,8 \end{matrix}) \end{array}$
Ainsi, pour tout entier naturel n, $c_{n + 1} = 0,7 c_{n} + 0,2 d_{n}$ avec $c_{n} + d_{n} = 1$ soit $d_{n} = 1 - c_{n}$ d'où $\begin{array}{rcl} c_{n + 1} & = & 0,7 c_{n} + 0,2 \times (1 - c_{n}) \\ = & 0,7 c_{n} + 0,2 - 0,2 c_{n} \\ = & 0,5 c_{n} + 0,2 \end{array}$
Pour tout entier naturel n, on a $c_{n + 1} = 0,5 c_{n} + 0,2$ .

On admet pour la suite de l'exercice que tout entier naturel n, $c_{n} = - 0,2 \times {0,5}^{n} + 0,4$ .

Montrer que la suite $(c_{n})$ est croissante.
Pour tout entier n, $\begin{matrix} c_{n + 1} - c_{n} & = & (- 0,2 \times {0,5}^{n + 1} + 0,4) - (- 0,2 \times {0,5}^{n} + 0,4) \\ = & - 0,2 \times {0,5}^{n + 1} + 0,2 \times {0,5}^{n} \\ = & 0,2 \times {0,5}^{n} \times (- 0,5 + 1) \\ = & 0,1 \times {0,5}^{n} \end{matrix}$
Or pour tout entier n, $0,1 \times {0,5}^{n} > 0$ , donc :
pour tout entier n, $c_{n + 1} - c_{n} > 0$ . La suite $(c_{n})$ est strictement croissante.
1. Proposer un algorithme affichant la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical à partir de 2013 jusqu'à l'année $(2013 + n)$ , pour un nombre d'années n saisi par l'utilisateur.
  L'algorithme suivant permet d'afficher la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical à partir de 2013 jusqu'à l'année $(2013 + n)$ , pour un nombre d'années N saisi par l'utilisateur :
  Pour K allant de 0 à N
  $C \leftarrow 0,4 - 0,2 \times {0,5}^{K}$
  Afficher C
  Fin Pour
  OU
  $V \leftarrow 0,2$
  Pour K allant de 1 à N
  $C \leftarrow 0,5 \times C + 0,2$
  Afficher C
  Fin Pour
2. La proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical franchira-t-elle le seuil de 39 % ? Si oui, indiquer l'année en expliquant la démarche.
  L'état stable du système est $E = (\begin{matrix} 0,4 & 0,6 \end{matrix})$ donc la suite $(c_{n})$ converge vers 0,4.
  La suite $(c_{n})$ est strictement croissante et converge vers 0,4 donc à partir d'un certain rang p, pour tout entier $n > p$ on a $0,39 < c_{n} < 0,4$ .
  p est le plus petit entier solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcll} - 0,2 \times {0,5}^{n} + 0,4 > 0,39 & \Leftrightarrow & - 0,2 \times {0,5}^{n} > 0,39 - 0,4 \\ \Leftrightarrow & {0,5}^{n} < 0,05 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,5}^{n}) < \ln (0,05) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln (0,5) < \ln (0,05) & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln (0,05)}{\ln (0,5)} & \ln 0,5 < 0 \end{array}$
  Comme $\frac{\ln (0,05)}{\ln (0,5)} \approx 4,3$ alors, le plus petit entier p tel que $c_{p} > 0,39$ est $p = 5$ .
  La proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical franchira le seuil de 39 % en 2018.
Le directeur de cette école affirme que si ce modèle d'évolution reste valable, la proportion d'enfants de la commune inscrits à cet éveil musical dépassera le seuil de 50 %.
Peut-on valider cette affirmation ? Argumenter la réponse.
La suite $(c_{n})$ est strictement croissante et converge vers 0,4 donc pour tout entier n, $c_{n} < 0,4$ .
Selon ce modèle, la proportion d'enfants de la commune inscrits à cet éveil musical ne dépassera pas le seuil de 40 %.

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