sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2017

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

En janvier 2015, le directeur d'un musée d'art contemporain commande une enquête concernant les habitudes des visiteurs.

Partie A

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant qui représente la situation décrite dans l'énoncé :

2. Montrer que la probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d'audioguide est égale à 0,135.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(E\cap A\right)=p_E\left(A\right)\times p\left(E\right)& \text{soit}& p\left(E\cap A\right)=\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,45}=\mathrm{0,135}\end{array}$$

   La probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d'audioguide est égale à 0,135.

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3. Montrer que $p\left(A\right)=\mathrm{0,3385}$.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(A\right)=p\left(A\cap E\right)+p\left(A\cap \overline{E}\right)$$

   Or $$\begin{array}{rrc}p\left(A\cap \overline{E}\right)=p_{\overline{E}}\left(A\right)\times p\left(\overline{E}\right)& \text{soit}& p\left(A\cap \overline{E}\right)=\mathrm{0,37}\times \mathrm{0,55}=\mathrm{0,2035}\end{array}$$

   Ainsi, $$p\left(A\right)=\mathrm{0,135}+\mathrm{0,2035}=\mathrm{0,3385}$$

   La probabilité que le billet corresponde à une visite avec location d'audioguide est égale à 0,3385.

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4. Le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide. Quelle est la probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée ?
   On arrondira le résultat au millième.

   $$\begin{array}{ccc}{p}_A\left(\overline{E}\right)={\displaystyle \frac{p\left(A\cap \overline{E}\right)}{p\left(A\right)}}& \text{Soit}& p_A\left(\overline{E}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2035}}{\mathrm{0,3385}}}\approx \mathrm{0,601}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un billet correspondant à une visite individuelle avec location d'audioguide ait été acheté au guichet du musée est 0,601.

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Partie B

Pour gérer les flux des visiteurs, une partie de l'enquête a porté sur la durée d'une visite de ce musée. Il a été établi que la durée D d'une visite, en minutes, suit la loi normale de moyenne $\mu =90$ et d'écart-type $\sigma =15$.

1. Déterminer $p\left(90⩽D⩽120\right)$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

   D'après la calculatrice, $p\left(90⩽D⩽120\right)\approx \mathrm{0,477}$

   47,7 % des visites durent entre 90 minutes et 120 minutes.

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2. Le directeur précise qu'il augmentera la capacité d'accueil de l'espace restauration du musée si plus de 2 % des visiteurs restent plus de 2 heures et 30 minutes par visite.
   Quelle sera alors sa décision ?

   Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}p\left(D>150\right)& =& p\left(D⩾90\right)-p\left(90⩽D⩽150\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-p\left(90⩽D⩽150\right)\approx \mathrm{0,00003}\end{array}$$

   La probabilité qu'un visiteur reste plus de 2 heures et 30 minutes par visite est inférieure à 0,02. Il n'est pas nécessaire d'augmenter la capacité d'accueil de l'espace restauration.

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Partie C

Sur l'ensemble des musées d'art contemporain, 22 % des visiteurs sont de nationalité étrangère.
Sur un échantillon aléatoire de 2000 visiteurs du musée considéré précédemment, 490 visiteurs sont de nationalité étrangère.
Que peut en conclure le directeur de ce musée ? Argumenter.

• La proportion des visiteurs de nationalité étrangère sur l'ensemble des musées d'art contemporain est $p=\mathrm{0,22}$.
  La taille de l'échantillon est $n=2000$, on a $n\times p=2000\times \mathrm{0,22}=440$ et $n\times \left(1-p\right)=2000\times \mathrm{0,78}=1560$.
  Les conditions $n⩾30$, $np>5$ et $n\times \left(1-p\right)>5$ d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

  L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est : $$\begin{array}{ccc}I=\left[\mathrm{0,22}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,22}\times \mathrm{0,78}}{2000}}};\mathrm{0,22}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,22}\times \mathrm{0,78}}{2000}}}\right]& \text{soit}& I=\left[\mathrm{0,201};\mathrm{0,239}\right]\end{array}$$

• La fréquence f des visiteurs de nationalité étrangère du musée considéré dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{490}{2000}}=\mathrm{0,245}$

La fréquence f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique. Au risque de 5 %, le directeur peut estimer que la proportion de visiteurs de nationalité étrangère est plus élevée dans son musée que dans l'ensemble des musées d'art contemporain.

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