Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2017

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans cet exercice, on étudie le tirage moyen journalier des quotidiens français d'information générale et politique, c'est-à-dire le nombre moyen d'exemplaires imprimés par jour.

Le tableau suivant donne, entre 2007 et 2014, pour chaque année ce tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires :

Source : D.G.M.I.C (Direction générale des médias et des industries culturelles)
Année	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014
Tirage moyen journalier en milliers d'exemplaires	10 982	10 596	10 274	10 197	10 182	9 793	9 321	8 854

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.

Calculer le taux d'évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008.
Le taux d'évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008 est : $\frac{10 596 - 10 982}{10 982} \approx - 0,0351$
En 2008, le tirage moyen journalier a diminué d'environ 3,51 % par rapport à 2007.

Pour tout entier naturel n, on note $V_{n}$ le tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires, de l'année $(2007 + n)$ .
On modélise la situation en posant : $V_{0} = 10 982$ et, pour tout entier naturel n, $V_{n + 1} = 0,96 V_{n} + 100$ .

Calculer $V_{1}$ puis $V_{2}$ .
$\begin{array}{ll} V_{1} = 0,96 \times 10982 + 100 = 10642,72 \\ et & V_{2} = 0,96 \times 10642,72 + 100 \approx 10317,01 \end{array}$
Ainsi, $V_{1} = 10642,72$ et $V_{2} \approx 10317,01$ .
Soit $(W_{n})$ la suite définie, pour tout entier naturel n, par $W_{n} = V_{n} - 2500$ .
1. Montrer que $(W_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} W_{n + 1} & = & V_{n + 1} - 2500 \\ = & 0,96 V_{n} + 100 - 2500 \\ = & 0,96 V_{n} - 2400 \\ = & 0,96 \times (V_{n} - 2500) \\ = & 0,96 W_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $W_{n + 1} = 0,96 W_{n}$ donc $(W_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,96 dont le premier terme $W_{0} = 10982 - 2500 = 8482$ .
2. Déterminer l'expression de $W_{n}$ en fonction de n.
  $(W_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme $W_{0} = 8482$ donc pour tout entier naturel n, on a $W_{n} = 8482 \times {0,96}^{n}$ .
3. En déduire que pour tout entier naturel n, $V_{n} = 8482 \times {0,96}^{n} + 2500$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $W_{n} = V_{n} - 2500 \Leftrightarrow V_{n} = W_{n} + 2500$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $V_{n} = 8482 \times {0,96}^{n} + 2500$ .
1. Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l'année 2017.
  $V_{10} = 8482 \times {0,96}^{10} + 2500 \approx 8139,11$
  Selon ce modèle, le tirage moyen journalier prévu pour l'année 2017 est de 8 139 110 exemplaires.
2. Déterminer la limite de la suite $(W_{n})$ . Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  $0 < 0,96 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,96}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 8482 \times {0,96}^{n} = 0$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} W_{n} = 0$ .
  La suite $(W_{n})$ converge vers 0 donc $\lim_{n \to + \infty} V_{n} = 2500$ . Par conséquent, à partir d'un certain nombre d'années, le tirage moyen journalier restera proche de 2500 milliers d'exemplaires.
3. Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu'à l'année $(2007 + n)$ , pour un nombre d'années n saisi par l'utilisateur.
  L'algorithme suivant permet d'afficher le tirage moyen journalier en milliers d'exemplaires, à partir de 2007 jusqu'à l'année $(2007 + n)$ , pour un nombre d'années n saisi par l'utilisateur :
  Pour K allant de 0 à N
  $V \leftarrow 8482 \times {0,96}^{K} + 2500$
  Afficher V
  Fin Pour
  OU
  $V \leftarrow 2500$
  Pour K allant de 1 à N
  $V \leftarrow 0,96 \times V + 100$
  Afficher V
  Fin Pour

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