Une entreprise fabrique des enceintes acoustiques sans fil. Le coût de production d'une enceinte est de 300 euros.
On note x le prix de vente en centaines d'euros d'une enceinte.
Une étude de marché permet de modéliser la situation : pour tout réel x de l'intervalle , si le prix de vente d'une enceinte est x centaines d'euros, alors le nombre d'acheteurs est modélisé par Ainsi, est une approximation du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de x centaines d'euros. Par exemple, si le prix de vente d'une enceinte est fixé à 400 euros, le nombre d'acheteurs est approché par .
Donner une valeur approximative du nombre d'acheteurs pour un prix de vente de 400 euros.
Pour un prix de vente de 400 euros il y aurait environ 55 acheteurs.
On appelle marge brute la différence entre le montant obtenu par la vente des enceintes et leur coût de production.
Quelle est la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de 400 euros par enceinte ?
Le coût de production d'une enceinte est de 300 euros donc la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de 400 euros par enceinte est :
Pour un prix de vente de 400 euros, la marge brute de cette entreprise est d'environ 5460 euros.
On note la marge brute, en centaines d'euros, réalisée par l'entreprise pour une prix de vente de x centaines d'euros par enceinte.
Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle , .
Le coût de production d'une enceinte est de 3 centaines d'euros donc la marge brute, en centaines d'euros, réalisée par l'entreprise pour une prix de vente de x centaines d'euros par enceinte est :
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle , si le prix de vente d'une enceinte est x centaines d'euros, alors la marge brute, en centaines d'euros, réalisée par l'entreprise est modélisée par .
Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
En utilisant le résultat du logiciel de calcul formel, étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle .
Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée sur l'intervalle .
D'après le résultat du logiciel de calcul formel, la dérivée de la fonction g est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par
Pour tout réel x, donc sur l'intervalle , est du même signe que
On en déduit le tableau établissant le signe de ainsi que les variations de la fonction g :
x | 3 | 7 | 10 | ||
+ | − | ||||
0 |
Pour quel prix de vente unitaire l'entreprise réalisera-t-elle la marge brute maximale ? Donner alors une valeur approchée de cette marge brute à l'euro près.
D'après l'étude des variations, la fonction g admet un maximum atteint pour et .
La marge brute maximale est d'environ 10316 euros obtenue avec un prix de vente de 700 euros.
Soit G la fonction telle que pour tout réel x de .
Montrer que G est une primitive de la fonction g.
G est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x de l'intervalle :
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle on a donc G est une primitive de g sur l'intervalle .
On pose . Déterminer la valeur exacte de I.
Ainsi, .
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