sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2017

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

1. Affirmation 1.

   Pour tout réel a strictement positif, $\ln \left(a^3\right)-\ln \left(a^2\right)=\ln \left(a^{25}\right)-\ln \left(a^{24}\right)$.

   Pour tout réel a strictement positif : $$\begin{array}{ccc}\ln \left(a^3\right)-\ln \left(a^2\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{a^3}{a^2}}\right)=\ln \left(a\right)& \text{et}& \ln \left(a^{25}\right)-\ln \left(a^{24}\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{a^{25}}{a^{24}}}\right)=\ln \left(a\right)\end{array}$$

   L'affirmation 1 est vraie.

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2. Affirmation 2.

   Si la variable aléatoire X suit la loi uniforme sur $\left[0;100\right]$, alors $P\left(X<75\right)=P\left(X>25\right)$.

   La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur $\left[0;100\right]$, alors :$$\begin{array}{ccc}P\left(X<75\right)={\displaystyle \frac{75}{100}}& \text{et}& P\left(X>25\right)={\displaystyle \frac{100-25}{100}}={\displaystyle \frac{75}{100}}\end{array}$$

   L'affirmation 2 est vraie.

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3. Affirmation 3.

   On a prélevé un échantillon aléatoire de 400 pièces dans une production et observé 6 pièces défectueuses. La borne supérieure de l'intervalle de confiance de la proportion de pièces défectueuses dans la production au niveau de confiance de 95 % est égale à 0,08.

   La fréquence de pièces défectueuses dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{6}{400}}=\mathrm{0,015}$. On a $n=400⩾30$, $nf=6⩾5$ et $n\left(1-f\right)=394⩾5$. Les conditions d'approximation sont vérifiées.

   Un intervalle de confiance de la proportion p pièces défectueuses est $$\begin{array}{ccc}I=\left[\mathrm{0,015}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{400}}};\mathrm{0,015}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{400}}}\right]& \text{soit}& I=\left[0;\mathrm{0,065}\right]\end{array}$$

   L'affirmation 3 est fausse.

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4. Affirmation 4.

   L'équation $x\ln \left(x\right)=2\ln \left(x\right)$ admet exactement deux solutions : 2 et 1 sur $\left]0;+\infty \right[$.

   Pour tout réel x strictement positif :$$\begin{array}{rcl}x\ln \left(x\right)=2\ln \left(x\right)& \iff & x\ln \left(x\right)-2\ln \left(x\right)=0\\ & \iff & \left(x-2\right)\ln \left(x\right)=0\\ & \text{Soit}& x-2=0\iff x=2\text{ ou }\ln \left(x\right)=0\iff x=1\end{array}$$

   L'affirmation 4 est vraie.

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