Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2017

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Début 2013, la superficie totale des forêts sur la terre représente un peu plus de 4 milliards d'hectares. Au cours de l'année 2013, on estime qu'environ 15 millions d'hectares ont été détruits.
Des plantations d'arbres et une expansion naturelle des forêts ont ajouté 10,2 millions d'hectares de nouvelles forêts en 2013.

Montrer que la superficie totale des forêts détruites au cours de l'année 2013 représente 0,375 % de la superficie totale des forêts mesurée au début de l'année.
La proportion de la superficie des forêts détruites au cours de l'année 2013 est : $\frac{15}{4000} = 0,00375$
La superficie des forêts détruites au cours de l'année 2013 représente 0,375 % de la superficie totale des forêts mesurée au début de l'année.

On admet dans la suite que chaque année, la proportion des surfaces détruites de forêts et la superficie de nouvelles forêts restent constantes.
On note $u_{n}$ la superficie (en millions d'hectares) occupée par les forêts sur la Terre au début de l'année $(2013 + n)$ avec $u_{0} = 4000$ .

1. Justifier que pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,99625 u_{n} + 10,2$ .
  Chaque année, 0,375 % de la superficie totale des forêts mesurée au début de l'année sont détruites et on ajoute 10,2 millions d'hectares de nouvelles forêts. Donc pour tout entier n, $u_{n + 1} = u_{n} \times (1 - \frac{0,375}{100}) + 10,2 = 0,99625 u_{n} + 10,2$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,99625 u_{n} + 10,2$ .
2. Montrer que la superficie totale des forêts sur la Terre, au début de l'année 2014, en millions d'hectares, est $u_{1} = 3995,2$ .
  La superficie totale des forêts sur la Terre, au début de l'année 2013, en millions d'hectares, est $u_{0} = 4000$ d'où : $u_{1} = 0,99625 \times 4000 + 10,2 = 3995,2$
  La superficie totale des forêts sur la Terre, au début de l'année 2014, en millions d'hectares, est $u_{1} = 3995,2$ .
Soit $(d_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel n par $d_{n} = u_{n} - 2720$ .
1. Montrer que pour tout entier naturel n, $d_{n + 1} = 0,99625 \times d_{n}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} d_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 2720 \\ = & 0,99625 u_{n} + 10,2 - 2720 \\ = & 0,99625 u_{n} - 2709,8 \\ = & 0,99625 \times (u_{n} - 2720) \\ = & 0,99625 d_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $d_{n + 1} = 0,99625 \times d_{n}$ .
2. Quelle est la nature de la suite $(d_{n})$ ? Calculer $d_{0}$ .
  Pour tout entier naturel n, $d_{n + 1} = 0,99625 \times d_{n}$ donc $(d_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,99625 dont le premier terme $d_{0} = 4000 - 2720 = 1280$ .
3. Déterminer, pour tout entier naturel n, l'expression de $d_{n}$ , en fonction de n ; en déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de n.
  $(d_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,99625 et de premier terme $d_{0} = 1280$ donc pour tout entier naturel n, on a : $d_{n} = 1280 \times {0,99625}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $d_{n} = u_{n} - 2720 \Leftrightarrow u_{n} = d_{n} + 2720$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 1280 \times {0,99625}^{n} + 2720$ .
1. Proposer un algorithme affichant la superficie (en millions d'hectares) occupée par les forêts sur la Terre, pour chaque année de 2013 à 2029.
  $\begin{matrix} u \leftarrow 4000 \end{matrix}$
  Pour n allant de 0 à 16
  Afficher u
  $\begin{matrix} u \leftarrow 0,99625 \times u + 10,2 \end{matrix}$
  Fin Pour
2. À partir de quelle année la superficie des forêts présentes sur la Terre sera inférieure à 3,9 milliards d'hectares ? Préciser la démarche utilisée.
  Déterminons le plus petit entier n solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcll} 1280 \times {0,99625}^{n} + 2720 < 3900 & \Leftrightarrow & 1280 \times {0,99625}^{n} < 1180 \\ \Leftrightarrow & {0,99625}^{n} < 0,921875 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,99625}^{n}) < \ln 0,921875 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,99625 < \ln 0,921875 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,921875}{\ln 0,99625} & \ln 0,99625 < 0 \end{array}$
  Comme $\frac{\ln 0,921875}{\ln 0,99625} \approx 21,7$ alors le plus petit entier n solution de l'inéquation $1280 \times {0,99625}^{n} + 2720 < 3900$ est $n = 22$ .
  Selon ce modèle, la superficie des forêts présentes sur la Terre sera inférieure à 3,9 milliards d'hectares à partir de 2035.

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