sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

1. Par lecture graphique.

   1. Donner la valeur de $f\left(0\right)$.

      Le point $A\left(0;1\right)$ est situé sur la courbe $\left({𝒞}_1\right)$ d'où $f\left(0\right)=1$.

      ---

   2. Donner la valeur de $f\prime \left(0\right)$.

      La tangente à la courbe $\left({𝒞}_1\right)$ au point A est horizontale d'où $f\prime \left(0\right)=0$.

      ---

   3. Étudier la convexité de f sur $\left[-1;2\right]$. Justifier la réponse.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde. Soit $x_B\approx \mathrm{0,37}$ l'abscisse du point B, le tableau du signe de $f″$ est :

      x	$-1$		$x_B$		2
      $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−

      ---

      La fonction f est convexe sur l'intervalle $\left[-1;x_B\right]$ et concave sur l'intervalle $\left[x_B;2\right]$.

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2. On admet désormais que la fonction f est définie pour tout réel x dans $\left[-1;2\right]$ par $f\left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^x+x^2$.
   Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

   1	$f\left(x\right):=\left(1-x\right)*\exp \left(x\right)+x^2$
   		$\to \left(1-x\right){\mathrm{e}}^x+x^2$
   2	factoriser$[$dériver$\left[f\left(x\right)\right]]$
   		$\to x\left(2-{\mathrm{e}}^x\right)$
   3	primitive$\left[f\left(x\right)\right]$
   		$\to {\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+\left(-x+2\right){\mathrm{e}}^x$

   1. Vérifier le résultat trouvé par le logiciel pour le calcul de $f\prime \left(x\right)$.

      Soit g la fonction définie pour tout réel x dans $\left[-1;2\right]$ par $g\left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^x$.

      g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $g=uv$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x dans $\left[-1;2\right]$, $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=1-x& \text{;}& u\prime \left(x\right)=-1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x& \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}$

      Soit pour tout réel x dans $\left[-1;2\right]$, $$\begin{array}{rcl}g\prime \left(x\right)& =& -{\mathrm{e}}^x+\left(1-x\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& \left(-1+1-x\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& -x{\mathrm{e}}^x\end{array}$$

      Pour tout réel x dans $\left[-1;2\right]$, $f\left(x\right)=g\left(x\right)+x^2$ d'où $f\prime \left(x\right)=g\prime \left(x\right)+2x$. Soit pour tout réel x dans $\left[-1;2\right]$, $$f\prime \left(x\right)=-x{\mathrm{e}}^x+2x=x\left(2-{\mathrm{e}}^x\right)$$

      Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie pour tout réel x dans $\left[-1;2\right]$ par $f\prime \left(x\right)=x\left(2-{\mathrm{e}}^x\right)$

      ---

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction f sur $\left[-1;2\right]$.

      Étudions le signe du produit $x\left(2-{\mathrm{e}}^x\right)$ à l'aide d'un tableau.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}2-{\mathrm{e}}^x⩽0& \iff & -{\mathrm{e}}^x⩽-2\\ & \iff & {\mathrm{e}}^x⩾2\\ & \iff & x⩾\ln \left(2\right)\end{array}$$

      On en déduit le tableau de signes de $f\prime \left(x\right)$:

      x	$-1$		0		$\ln \left(2\right)$		2
      x		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      $8x-3$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $$f\prime \left(x\right)=x\left(2-{\mathrm{e}}^x\right)$$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x	$-1$		0		$\ln \left(2\right)$		2
      $$f\prime \left(x\right)$$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	$\approx \mathrm{1,74}$		1		$\approx \mathrm{1,09}$		$\approx -\mathrm{3,39}$

3. 1. Justifier que l'équation $f\left(x\right)=0$ possède une unique solution α dans $\left[-1;2\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[-1;\ln 2\right]$ le minimum de la fonction f est $f\left(0\right)=1$ donc pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[-1;\ln 2\right]$ on a $f\left(x\right)⩾1$.
        Par conséquent, l'équation $f\left(x\right)=0$ n'a pas de solution dans l'intervalle $\left[-1;\ln 2\right]$.

      • $f\left(\ln 2\right)=2\times \left(1-\ln 2\right)+{\left(\ln 2\right)}^2\approx \mathrm{1,09}$ et $f\left(2\right)=4-{\mathrm{e}}^2\approx -\mathrm{3,39}$. Sur l'intervalle $\left[\ln 2;2\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(2\right)<0<f\left(\ln 2\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. l'équation $f\left(x\right)=2$ admet une unique solution $\alpha \in \left[\ln 2;2\right]$.

      Ainsi, l'équation $f\left(x\right)=0$ possède une unique solution α dans $\left[-1;2\right]$.

      ---

   2. Déterminer un encadrement de α d'amplitude 0,01.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $\mathrm{1,50}<\alpha <\mathrm{1,51}$.

      ---

4. Déterminer une équation de la tangente à $\left({𝒞}_1\right)$ au point d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente à la courbe $\left({𝒞}_1\right)$ au point d'abscisse 1 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $f\left(1\right)=1$ et $f\prime \left(1\right)=2-\mathrm{e}$ d'où une équation de la tangente :$$\begin{array}{ccc}y=\left(2-\mathrm{e}\right)\times \left(x-1\right)+1& \iff & y=\left(2-\mathrm{e}\right)x+\mathrm{e}-1\end{array}$$

   La tangente à la courbe $\left({𝒞}_1\right)$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y=\left(2-\mathrm{e}\right)x+\mathrm{e}-1$.

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5. 1. Justifier la ligne 3 du tableau de calcul formel.

      Soit F la fonction définie pour tout réel x dans $\left[-1;2\right]$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+\left(-x+2\right){\mathrm{e}}^x$.

      $F=w+uv$ d'où $F\prime =w\prime +\left(u\prime v+uv\prime \right)$ avec pour tout réel x dans $\left[-1;2\right]$, $\{\begin{array}{lcl}w\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3& \text{;}& w\prime \left(x\right)=x^2\\ u\left(x\right)=-x+2& \text{;}& u\prime \left(x\right)=-1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x& \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}$

      Soit pour tout réel x dans $\left[-1;2\right]$, $$\begin{array}{rcl}F\prime \left(x\right)& =& x^2+\left(-{\mathrm{e}}^x+\left(-x+2\right){\mathrm{e}}^x\right)\\ & =& x^2+\left(-1-x+2\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& x^2+\left(1-x\right){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[-1;2\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction F définie pour tout réel x dans $\left[-1;2\right]$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+\left(-x+2\right){\mathrm{e}}^x$ est une primitive de la fonction f.

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   2. On admet que la fonction f est positive sur $\left[-1;1\right]$. En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $\left({𝒞}_1\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=1$, puis en donner une valeur arrondie au dixième.

      La fonction f est positive sur $\left[-1;1\right]$ par conséquent l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan limité par la courbe $\left({𝒞}_1\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=1$ est égale à l'intégrale : $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(1\right)-F\left(-1\right)\\ & =& \left({\displaystyle \frac{1}{3}}+\mathrm{e}\right)-\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}+3{\mathrm{e}}^{-1}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{3}}+\mathrm{e}-3{\mathrm{e}}^{-1}\end{array}$$

      L'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $\left({𝒞}_1\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=1$ est égale à $\left({\displaystyle \frac{2}{3}}+\mathrm{e}-{\displaystyle \frac{3}{\mathrm{e}}}\right)$. Soit arrondie au dixième, 2,3 unités d'aire.

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