sujet : Polynésie 2017

corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

1. 1. Donner les probabilités $P\left(A\right)$, $P_A\left(R\right)$ et $P_{\overline{A}}\left(R\right)$.

      • 20 % des personnes qui se sont présentées à l'épreuve pratique du permis de conduire avaient suivi la filière AAC d'où $P\left(A\right)=\mathrm{0,2}$.

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      • Parmi les candidats qui ont suivi la filière AAC, 75 % ont été reçus à l'examen d'où $P_A\left(R\right)=\mathrm{0,75}$.

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      • Pour les candidats n'ayant pas suivi la filière AAC, le taux de réussite à l'examen était seulement de 56,6 % d'où $P_{\overline{A}}\left(R\right)=\mathrm{0,566}$.

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   2. Traduire la situation par un arbre pondéré.

      L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. 1. Calculer la probabilité $P\left(A\cap R\right)$.

      $$\begin{array}{ccc}P\left(A\cap R\right)=P_A\left(R\right)\times P\left(A\right)& \text{soit}& P\left(A\cap R\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,75}=\mathrm{0,15}\end{array}$$

      $P\left(A\cap R\right)=\mathrm{0,15}$.

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   2. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé.

      15 % des personnes qui se sont présentées à l'épreuve pratique du permis de conduire ont suivi la filière AAC et ont été reçues à l'examen.

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3. Justifier que $P\left(R\right)=\mathrm{0,6028}$.

   Les évènements A et R sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(R\right)=P\left(A\cap R\right)+P\left(\overline{A}\cap R\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}P\left(\overline{A}\cap R\right)=P_{\overline{A}}\left(R\right)\times P\left(\overline{A}\right)& \text{soit}& P\left(\overline{A}\cap R\right)=\mathrm{0,566}\times \mathrm{0,8}=\mathrm{0,4528}\end{array}$$

   On obtient alors $$P\left(R\right)=\mathrm{0,15}+\mathrm{0,4528}=\mathrm{0,6028}$$

   La probabilité d'être reçu à l'examen est égale à 0,6028.

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4. Sachant que le candidat a été reçu à l'examen, calculer la probabilité qu'il ait suivi la filière AAC. On donnera une valeur approchée à ${10}^{-4}$ près de cette probabilité.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_R\left(A\right)={\displaystyle \frac{P\left(A\cap R\right)}{P\left(R\right)}}& \text{Soit}& P_R\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,6028}}}\approx \mathrm{0,2488}\end{array}$$

   La probabilité, arrondie à ${10}^{-4}$ près, qu'un candidat reçu à l'examen a suivi la filière AAC est 0,2488.

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partie b

Un responsable d'auto-école affirme que pour l'année 2016, la probabilité d'être reçu à l'examen est égale à 0,62.
Ayant des doutes sur cette affirmation, une association d'automobilistes décide d'interroger 400 candidats à l'examen parmi ceux de 2016. Il s'avère que 220 d'entre eux ont effectivement obtenu le permis de conduire.

1. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de candidats reçus dans un échantillon aléatoire de 400 candidats.

   Comme $n=400$, $n\times p=400\times \mathrm{0,62}=248$ et $n\times \left(1-p\right)=400\times \mathrm{0,38}=152$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,62}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,62}\times \mathrm{0,38}}{400}}};\mathrm{0,62}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,62}\times \mathrm{0,38}}{400}}}\right]\end{array}$$

   Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de candidats reçus dans un échantillon aléatoire de 400 candidats est $I=\left[\mathrm{0,572};\mathrm{0,668}\right]$.

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2. Peut-on émettre des doutes sur l'affirmation du responsable de cette auto-école ? Justifier votre réponse.

   La fréquence f de candidats reçus dans l'échantillon est :$$f={\displaystyle \frac{220}{400}}\approx \mathrm{0,55}$$

   La fréquence f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On rejette l'hypothèse d'un taux de réussite à l'examen de 62 %.

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partie c

Selon une enquête menée en 2013 par l'association « Prévention Routière », le coût moyen d'obtention du permis de conduire atteignait environ 1500 €. On décide de modéliser le coût d'obtention du permis de conduire par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance $\mu =1500$ et d'écart-type $\sigma =410$.

1. Déterminer une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près de la probabilité que le coût du permis de conduire soit compris entre 1090 € et 1910 €.

   X est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu =1500$ et d'écart-type $\sigma =410$ alors, $$\begin{array}{ccc}P\left(1500-410⩽X⩽1500-410\right)\approx \mathrm{0,683}& \text{soit}& P\left(1090⩽X⩽1910\right)\approx \mathrm{0,683}\end{array}$$

   Arrondie au centième près, la probabilité que le coût du permis de conduire soit compris entre 1090 € et 1910 € est 0,68.

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2. Déterminer $P\left(X⩽1155\right)$. On donnera le résultat sous forme approchée à ${10}^{-2}$ près.

   Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}P\left(X⩽1155\right)& =& P\left(X⩽1500\right)-P\left(1155⩽X⩽1500\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(1155⩽X⩽1500\right)\approx \mathrm{0,2}\end{array}$$

   La probabilité que le coût du permis de conduire soit inférieur à 1155 € est 0,2.

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3. 1. Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel a arrondi à l'unité, vérifiant $P\left(X⩾a\right)=\mathrm{0,2}$.

      • méthode 1

        Par symétrie de la courbe par rapport à la droite d'équation $x=1500$ on a :$$\begin{array}{ccc}P\left(X⩽1155\right)=P\left(X⩾1500+\left(1500-1155\right)\right)& \text{Soit}& P\left(X⩽1155\right)=P\left(X⩾1845\right)\end{array}$$

        On en déduit que $$P\left(X⩾1845\right)=\mathrm{0,2}$$

        Ainsi, $P\left(X⩾a\right)=\mathrm{0,2}$ pour $a=1845$.

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      • méthode 2

        $$\begin{array}{rcl}P\left(X⩾a\right)=\mathrm{0,2}& \iff & 1-P\left(X<a\right)=\mathrm{0,2}\\ & \iff & P\left(X<a\right)=\mathrm{0,8}\end{array}$$

        À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(X<a\right)=\mathrm{0,8}$ pour $a\approx 1845$.

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   2. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé.

      La probabilité que le coût du permis de conduire soit supérieur à 1845 € est 0,2.

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