sujet : Polynésie 2017

corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

Alex a téléchargé sur son smartphone un jeu lui permettant de combattre des animaux virtuels par localisation GPS. Le graphe pondéré représenté ci-dessous illustre le trajet qu'Alex doit suivre en marchant dans les rues de sa ville et le nombre d'animaux virtuels qu'il doit combattre sur la route suivie.

À l'aide d'un algorithme, déterminer le nombre minimal de créatures qu'Alex doit combattre s'il part du point O pour arriver au point F de la ville. Détailler les étapes de l'algorithme.

À l'aide de l'algorithme de Dijkstra on cherche la chaîne de poids minimal entre les sommets O et F.

O	A	B	C	D	E	F	Sommet sélectionné
0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	O (0)
	2 (O)	5 (O)	4 (O)	∞	∞	∞	A (2)
		5 (O) 4 (A)	4 (O)	9 (A)	∞	∞	B (4)
			4 (O)	9 (A)	7 (B)	∞	C (4)
				9 ( A)	7 (B)	∞	E (7)
				9 (A) 8 (E)		15 (E)	D (8)
						15 (E) 14 (D)	F (14)

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Le sommet F étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de F et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $F\leftarrow D\leftarrow E\leftarrow B\leftarrow A\leftarrow O$.

Le nombre minimal de créatures qu'Alex doit combattre s'il part du point O pour arriver au point F de la ville est égal à 14 en effectuant le parcours O - A - B - E - D - F.

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partie b

Alex retrouve d'autres personnes, ayant le même jeu, dans le parc de la ville dans le but de comparer le nombre de créatures qu'ils ont combattues.
Le premier jour, 8 personnes se sont retrouvées dans le parc. Le second jour, on comptait 25 personnes et le troisième jour, 80 personnes se sont retrouvées dans le parc.
Soit f la fonction définie par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, où a, b et c sont trois nombres réels et x un nombre entier compris entre 1 et 10. On admet que la fonction f modélise le nombre de personnes qui se retrouvent dans le parc le x-ième jour.

1. Traduire l'énoncé par un système de trois équations à trois inconnues a, b et c.

   $f\left(1\right)=8\iff a+b+c=8$

   $f\left(2\right)=25\iff 4a+2b+c=25$

   $f\left(3\right)=80\iff 9a+3b+c=80$

   Ainsi, les réels a, b et c sont solutions du système : $\{\begin{array}{c}a+b+c=8\\ 4a+2b+c=25\\ 9a+3b+c=80\end{array}$.

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2. Vérifier que ce système est équivalent à l'équation $AX=B$ avec $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 4& 2& 1\\ 9& 3& 1\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{c}8\\ 25\\ 80\end{array}\right)$.

   Posons $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 4& 2& 1\\ 9& 3& 1\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{c}8\\ 25\\ 80\end{array}\right)$ alors, le système précédent s'écrit sous la forme matricielle $A\times X=B$.

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3. Soit la matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,5}& -1& \mathrm{0,5}\\ -\mathrm{2,5}& 4& -\mathrm{1,5}\\ 3& -3& 1\end{array}\right)$.

   1. Calculer $M\times A$.

      $$\begin{array}{ccccc}M\times A& =& \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,5}& -1& \mathrm{0,5}\\ -\mathrm{2,5}& 4& -\mathrm{1,5}\\ 3& -3& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 4& 2& 1\\ 9& 3& 1\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

      $M\times A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

      ---

   2. Que représente la matrice M pour la matrice A ?

      Le produit des deux matrices carrées $M\times A$ est égal à la matrice identité donc la matrice M est l'inverse de la matrice A.

      $M=A^{-1}$.

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4. À l'aide d'un calcul matriciel, déterminer les valeurs des nombres a, b et c.

   Comme la matrice A est inversible, on a :$$\begin{array}{rcl}A\times X=B& \iff & A^{-1}\times A\times X=A^{-1}\times B\\ & \iff & X=A^{-1}\times B\end{array}$$

   Soit $$\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,5}& -1& \mathrm{0,5}\\ -\mathrm{2,5}& 4& -\mathrm{1,5}\\ 3& -3& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}8\\ 25\\ 80\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}19\\ -40\\ 29\end{array}\right)$$

   Ainsi, f est la fonction définie pour tout nombre entier x compris entre 1 et 10 par $f\left(x\right)=19x^2-40x+29$.

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5. Le parc de la ville a une capacité d'accueil de 2500 personnes.
   Selon ce modèle, le parc risque-t-il de refuser d'accueillir des personnes un de ces dix jours ? Justifier la réponse.

   Le tableau de variation de la fonction f se déduit des variations de la fonction polynôme du second degré $P\left(x\right)=19x^2-40x+29$

   x	1		${\displaystyle \frac{20}{19}}$		10
   $19x^2-40x+29$	8		${\displaystyle \frac{151}{19}}$		1529

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   D'après les variations de la fonction f, sur les dix jours, il n'y a pas de risque de dépasser la capacité d'accueil du parc.

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