sujet : Polynésie 2017

corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

1. Donner, à l'aide des informations ci-dessus et sans justifier les valeurs de $f\left(0\right)$ et de $f\prime \left(0\right)$.

   Le point $A\left(0;-2\right)$ appartient à la courbe $𝒞$ donc $f\left(0\right)=-2$.

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   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente $𝒟$ d'équation $y=10x-2$ donc $f\prime \left(0\right)=10$.

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2. 1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$ on a $f\prime \left(x\right)=\left(-ax+a+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=ax-2& \text{;}& u\prime \left(x\right)=a\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& a\times {\mathrm{e}}^{-x}+\left(ax-2\right)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\\ & =& \left(a-ax+2\right){\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-ax+a+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

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   2. Déduire des questions précédentes que $a=8$.

      $$\begin{array}{ccccc}f\prime \left(0\right)=10& \iff & a+2=10& \iff & a=8\end{array}$$

      f est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $f\left(x\right)=\left(8x-2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

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   3. Donner l'expression de $f\prime \left(x\right)$.

      $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-8x+10\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

      ---

3. 1. Préciser le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;5\right]$. On pourra faire un tableau.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(-8x+10\right)$ sur l'intervalle $\left[0;5\right]$.

      Comme pour tout réel x, $-8x+10⩽0\iff x⩾{\displaystyle \frac{5}{4}}$, on en déduit le tableau de signe de $f\prime$ :

      x	0		1,25		5
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

   2. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur ce même intervalle.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x	0		1,25		5
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	$-2$		$8{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,25}}$		$38{\mathrm{e}}^{-5}$

      ---

   3. Résoudre sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ l'équation $f\left(x\right)=0$.

      Pour tout réel x :$$\begin{array}{ccccc}\left(8x-2\right){\mathrm{e}}^{-x}=0& \iff & 8x-2=0& \iff & x={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

      L'équation $f\left(x\right)=0$ admet pour unique solution $x=\mathrm{0,25}$

      ---

4. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants :

   1	$g\left(x\right):=\left(-8*x+10\right)*\exp \left(-x\right)$ $\to g\left(x\right):=\left(-8x+10\right){\mathrm{e}}^{-x}$
   2	Dériver $[g\left(x\right),x]$ $\to \left(8*x-18\right)*\exp \left(-x\right)$
   3	Résoudre $[\left(8*x-18\right)*\exp \left(-x\right)>0,x]$ $\to x>9/4$

   En utilisant ces résultats :

   1. Donner l'expression de $f″$, fonction dérivée seconde de la fonction f.

      L'expression de $f″$ est donnée par la dérivée de la fonction $g=f\prime$

      $f″$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $f″\left(x\right)=\left(8x-18\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

      ---

   2. Justifier que la courbe $𝒞$ admet un point d'inflexion dont on donnera la valeur exacte de l'abscisse.

      Le signe de la dérivée seconde se déduit des solutions de l'inéquation $\left(8x-18\right){\mathrm{e}}^{-x}>0$.

      x	0		${\displaystyle \frac{9}{4}}$		5
      $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

      ---

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x={\displaystyle \frac{9}{4}}$ donc la courbe $𝒞$ admet un point d'inflexion d'abscisse 2,25.

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5. Une entreprise fabrique des grille-pains. Après avoir fait une étude, son directeur constate que si l'entreprise fabrique chaque jour x milliers de grille-pains (où x est un nombre réel de l'intervalle $\left[0;5\right]$), alors le bénéfice quotidien est donné, en centaine de milliers d'euros, par la fonction f définie par : $f\left(x\right)=\left(8x-2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

   1. Quelle quantité de grille-pains l'entreprise doit-elle fabriquer afin de réaliser un bénéfice maximal ?

      Le bénéfice maximal est obtenu pour la vente de 1,25 milliers de grille-pains.

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   2. Quel est alors la valeur de ce bénéfice maximal ? On donnera une valeur approchée du résultat à l'euro près.

      $f\left(\mathrm{1,25}\right)=8{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,25}}\approx \mathrm{2,92038}$

      Le bénéfice maximal est d'environ 292 038 euros.

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