Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie 2017

corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

En 2015, les forêts couvraient environ 4000 millions d'hectares sur terre. On estime que, chaque année, cette surface diminue de 0,4 %. Cette perte est en partie compensée par le reboisement, naturel ou volontaire, qui est estimé à 7,2 millions d'hectares par an.
On considère la suite (un) définie par u0=4000 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,996×un+7,2.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel n, un permet d'obtenir une estimation de la surface mondiale de forêt, en millions d'hectares l'année 2015+n.

    En 2015, les forêts couvraient environ 4000 millions d'hectares sur terre. D'autre part, le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 4 % est égal à 0,996 et, le reboisement est estimé à 7,2 millions d'hectares par an. Par conséquent :

    Le terme un de la suite (un) définie par u0=4000 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,996×un+7,2 permet d'obtenir une estimation de la surface mondiale de forêt, en millions d'hectares l'année 2015+n.


  2. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la première année pour laquelle la surface totale de forêt couvre moins de 3500 millions d'hectares sur terre.

    N2015
    U4 000

    Tant que U3500
    U0,996×U+7,2
    NN+1
    Fin Tant que

  3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn=un-1800.

    1. Démontrer que la suite (vn) est géométrique puis préciser son premier terme et sa raison.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-1800=0,996un+7,2-1800=0,996un-1792,8=0,996×(un-1800)=0,996vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=0,996vn donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,996 dont le premier terme v0=4000-1800=2200.


    2. En déduire que pour tout entier naturel n, on a : un=2200×0,996n+1800.

      (vn) est une suite géométrique de raison 0,996 et de premier terme v0=2200 donc pour tout entier naturel n, on a vn=22000×0,996n.

      Comme pour tout entier naturel n, vn=un-1800un=vn+1800 on en déduit que :

      Pour tout entier naturel n, on a : un=2200×0,996n+1800.


    3. Selon ce modèle et si le phénomène perdure, la surface des forêts sur terre va-t-elle finir par disparaître ? Justifier la réponse.

      0<0,996<1 donc limn+0,996n=0 d'où, limn+2200×0,996n+1800=1800. Soit limn+un=1800.

      La suite (un) converge vers 1800 donc selon ce modèle et si le phénomène perdure, la surface des forêts sur terre sera proche de 1800 millions d'hectares.


  4. Une étude montre que, pour compenser le nombre d'arbres détruits ces dix dernières années, il faudrait planter 140 millions d'arbres en 10 ans.
    En 2016 on estime que le nombre d'arbres plantés par l'Organisation des Nations unies (ONU) est de 7,3 milliards.
    On suppose que le nombre d'arbres plantés par l'ONU augmente chaque année de 10 %.

    L'ONU peut-elle réussir à replanter 140 millions d'arbres de 2016 à 2025 ? Justifier la réponse.

    Soit (an) la suite définie par a0=7,3 et, pour tout entier naturel n, an+1=1,1×unan est le nombre de millions d'arbres plantés par l'ONU l'année 2016+n.

    La suite (an) est une suite géométrique de raison 1,1 et de premier terme 7,3.

    La somme S des 10 premiers termes de cette suite modélise le nombre de millions d'arbres plantés par l'ONU de 2016 à 2025 :S=7,3×1-1,1101-1,1116,3

    Avec une augmentation de 10 % par an, l'ONU ne parviendra pas à replanter 140 millions d'arbres de 2016 à 2025.



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