contrôle du 29 septembre 2017

Corrigé de l'exercice 2

partie a

À partir du graphique et des renseignements fournis :

1. Déterminer $f\prime \left(-\mathrm{0,5}\right)$ et $f\prime \left(1\right)$.

   • La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse $\left(-\mathrm{0,5}\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(-\mathrm{0,5}\right)=0$

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   • Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point $D\left(1;1\right)$ passant par le point de coordonnées $\left(0;3\right)$, on en déduit que $$f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{3-1}{0-1}}=-2$$

     Ainsi, $f\prime \left(1\right)=-2$

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2. Déterminer dans chacun des cas, lequel des trois symboles $⩽$, = ou $⩾$ est approprié :

   1. Sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$ la fonction f est croissante donc $f\prime \left(-2\right)⩾0$.

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   2. La fonction f est croissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$ et décroissante sur l'intervalle $\left]-1;4\right]$ d'où $f\prime \left(-5\right)⩾0$ et $f\prime \left(1\right)⩽0$ donc $f\prime \left(-5\right)⩾f\prime \left(1\right)$.

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   3. La fonction f est décroissante sur l'intervalle $\left]-1;4\right]$ et croissante sur l'intervalle $\left[4;+\infty \right[$ d'où $f\prime \left(0\right)⩽0$ et $f\prime \left(8\right)⩾0$ donc $f\prime \left(0\right)⩽f\prime \left(8\right)$.

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partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{7-4x}{x^2+2}}$.

1. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{4x^2-14x-8}{{\left(x^2+2\right)}^2}}$.

   f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=7-4x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-4\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2+2& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(-4\right)\times \left(x^2+2\right)-\left(7-4x\right)\times 2x}{{\left(x^2+2\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-4x^2-8-14x+8x^2}{{\left(x^2+2\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4x^2-14x-8}{{\left(x^2+2\right)}^2}}\end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{4x^2-14x-8}{{\left(x^2+2\right)}^2}}$.

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2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      Pour tout réel x, ${\left(x^2+2\right)}^2>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $4x^2-14x-8$.

      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }={14}^2-4\times 4\times \left(-8\right)=324={18}^2$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{14-18}{8}}=-\mathrm{0,5}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{14+18}{8}}=4\end{array}$$

      Nous pouvons en déduire le signe de $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{4x^2-14x-8}{{\left(x^2+2\right)}^2}}$ :

      x	$-\infty$		$-\mathrm{0,5}$		4		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   2. Donner le tableau de variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x	$-\infty$		$-\mathrm{0,5}$		4		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			4		$-\mathrm{0,5}$

3. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe ${𝒞}_f$ au point E d'abscisse $\left(-2\right)$.

   Une équation de la tangente (T) à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse $\left(-2\right)$ est :$$y=f\prime \left(-2\right)\times \left(x+2\right)+f\left(-2\right)$$

   Or $f\left(-2\right)={\displaystyle \frac{7+8}{4+2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$ et $f\prime \left(-2\right)={\displaystyle \frac{4\times 4+28-8}{36}}=1$ d'où une équation de la tangente (T):$$\begin{array}{ccc}y=1\times \left(x+2\right)+{\displaystyle \frac{5}{2}}& \iff & y=x+{\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}$$

   La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse $\left(-2\right)$ a pour équation $y=x+\mathrm{4,5}$.

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