contrôle du 20 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 1

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative ${𝒞}_f$ d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.
On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f et $f″$ la dérivée seconde de la fonction f.

1. La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point $F\left(1;2\right)$ passe par le point de coordonnées $\left(0;-2\right)$. Déterminer $f\prime \left(1\right)$.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point F d'abscisse 1 d'où $$f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{-2-2}{0-1}}=4$$.

   Ainsi, $f\prime \left(1\right)=4$

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2. La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point D a pour équation $y=-2x-1$.

   1. Tracer la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point D.

      La droite d'équation $y=-2x-1$ passe par les points de coordonnées $\left(0;-1\right)$ et $\left(-1;1\right)$.

   2. Déterminer $f\prime \left(-1\right)$.

      Le nombre dérivé $f\prime \left(-1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point D d'où $f\prime \left(-1\right)=-2$.

      ---

3. Déterminer $f\prime \left(-5\right)$ et $f″\left(-5\right)$.

   • Le nombre dérivé $f\prime \left(-5\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point B d'abscisse $\left(-5\right)$. Cette tangente passe par le point de coordonnées $\left(-4;3\right)$ d'où $$f\prime \left(-5\right)={\displaystyle \frac{3-5}{-4-\left(-5\right)}}=-2$$.

     Ainsi, $f\prime \left(-5\right)=-2$

     ---

   • La courbe ${𝒞}_f$ traverse sa tangente au point B d'abscisse $-5$ donc B est un point d'inflexion de la courbe ${𝒞}_f$ d'où $f″\left(-5\right)=0$.

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4. Déterminer dans chacun des cas, lequel des trois symboles ⩽, = ou ⩾ est approprié :

   • La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse $-6$ est parallèle à l'axe des abscisses d'où $f\prime \left(-6\right)=0$.

     ---

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;-6\right]$ la fonction f est croissante d'où $f\prime \left(-7\right)⩾0$ et, sur l'intervalle $\left[-6;0\right[$ la fonction f est décroissante d'où $f\prime \left(-2\right)⩽0$.

     Ainsi, $f\prime \left(-7\right)⩾f\prime \left(-2\right)$.

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   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;-5\right]$ la fonction f est concave d'où $f″\left(-7\right)⩽0$ et, sur l'intervalle $\left[-1;1\right]$ la fonction f est convexe d'où $f″\left(0\right)⩾0$.

     Ainsi, $f″\left(-7\right)⩽f″\left(0\right)$.

     ---

   • La courbe ${𝒞}_f$ traverse sa tangente au point F d'abscisse 1 donc F est un point d'inflexion de la courbe ${𝒞}_f$ d'où $f″\left(1\right)=0$.

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5. Une des quatre courbes ${𝒞}_1$, ${𝒞}_2$, ${𝒞}_3$ et ${𝒞}_4$ ci-dessous est la courbe représentative de la dérivée $f\prime$ et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde $f″$.
   Déterminer la courbe qui représente la dérivée $f\prime$ et celle qui représente la dérivée seconde $f″$.

   • Sur l'intervalle $\left[-6;0\right]$ la fonction f est décroissante d'où pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[-6;0\right]$ on a $f\prime \left(x\right)⩽0$.

     Ainsi, la courbe ${𝒞}_2$ est la seule des quatre courbes susceptible de représenter la fonction dérivée $f\prime$.

     ---

   • Sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ la fonction f est concave d'où pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ on a $f″\left(x\right)⩽0$.

     Ainsi, la courbe ${𝒞}_3$ est la seule des quatre courbes susceptible de représenter la fonction dérivée seconde $f″$.

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   Courbe ${𝒞}_1$	Courbe ${𝒞}_2$ représentative de la fonction $f\prime$
   Courbe ${𝒞}_3$ représentative de la fonction $f″$	Courbe ${𝒞}_4$

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