contrôle du 20 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 2

On considère la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-3x^2+8x-3$ et on note ${𝒞}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
La fonction f est deux fois dérivable sur $ℝ$, on note $f\prime$ sa fonction dérivée et $f″$ sa fonction dérivée seconde.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   Pour tout réel x, on a :$$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3x^2}{3}}-3\times 2x+8=x^2-6x+8$$

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=x^2-6x+8$.

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2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   $f\prime$ est une fonction polynôme du second degré. Le discriminant du trinôme est : $\mathrm{\Delta }={\left(-6\right)}^2-4\times 8=4$.

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines distinctes :$x_1={\displaystyle \frac{6-2}{2}}=2$ et $x_2={\displaystyle \frac{6+2}{2}}=4$.

   Nous pouvons en déduire le signe de $f\prime \left(x\right)=x^2-6x+8$ :

   x	$-\infty$		2		4		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   x	$-\infty$		2		4		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$			${\displaystyle \frac{11}{3}}$		${\displaystyle \frac{7}{3}}$

4. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique α.

      • Sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$, le minimum de la fonction f est égal à ${\displaystyle \frac{7}{3}}$ donc pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$ on a $f\left(x\right)⩾{\displaystyle \frac{7}{3}}$. Par conséquent, sur cet intervalle, l'équation $f\left(x\right)=0$ n'a pas de solution.

      • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right]$ la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante avec $f\left(0\right)=-3$ et $f\left(2\right)={\displaystyle \frac{11}{3}}$. Soit $f\left(0\right)<0<f\left(2\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

        l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

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   2. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à ${10}^{-2}$ près de la solution α.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{0,45}$.

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5. Calculer $f″\left(x\right)$.

   $f″$ est la fonction définie pour tout réel x par $f″\left(x\right)=2x-6$.

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6. 1. Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est convexe ou concave.

      La convexité de f se déduit du signe de sa dérivée seconde :

      x	$-\infty$		3		$+\infty$
      $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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      La fonction f est concave sur l'intervalle $\left]-\infty ;3\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[3;+\infty \right[$.

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   2. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ? Si oui, calculer ses coordonnées.

      Pour $x=3$, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe donc la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse 3.$$f\left(3\right)={\displaystyle \frac{3^3}{3}}-3\times 3^2+8\times 3-3=3$$

      La courbe ${𝒞}_f$ admet un point d'inflexion de coordonnées $\left(3;3\right)$.

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