contrôle du 21 décembre 2017

Corrigé de l'exercice 1

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

1. En France, le nombre de femmes actives âgées de 50 à 64 ans a fortement augmenté depuis 2006, il est passé de 3 millions en 2006 à 4,1 millions en 2016.
   Affirmation 1 :
   Entre 2006 et 2016, le nombre de femmes actives âgées de 50 à 64 ans a augmenté d'environ 3,2 % chaque année.

   Soit t % le pourcentage annuel moyen d'évolution du nombre de femmes actives âgées de 50 à 64 ans de 2006 à 2016 : $$\begin{array}{rcl}{\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^{10}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,1}}{3}}& \iff & 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{4,1}}{3}}\right)}^{\mathrm{0,1}}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{4,1}}{3}}\right)}^{\mathrm{0,1}}\\ & \text{Soit}& {\displaystyle \frac{t}{100}}\approx \mathrm{0,0317}\end{array}$$

   Par conséquent, depuis 2006, le nombre de femmes actives âgées de 50 à 64 ans a augmenté d'environ 3,2 % chaque année.

   L'affirmation 1 est vraie.

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2. Soient $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=100$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=81-\mathrm{1,025}\times u_n$ et $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_n=40-u_n$.
   Affirmation 2 :
   $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{1,025}$ et de premier terme $v_0=-60$.

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{rcl}{v}_{n+1}& =& 40-u_{n+1}\\ & =& 40-81+\mathrm{1,025}\times u_n\\ & =& \mathrm{1,025}{u}_n-41\\ & =& -\mathrm{1,025}\times \left(40-u_n\right)\\ & =& -\mathrm{1,025}{v}_n\end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=-\mathrm{1,025}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=-\mathrm{1,025}$.

   L'affirmation 2 est fausse.

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   Affirmation 3 :
   Pour tout entier naturel n, $u_n=40+60\times {\left(-\mathrm{1,025}\right)}^n$.

   $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=-\mathrm{1,025}$ et de premier terme $v_0=40-100=-60$. Donc pour tout entier naturel n, $v_n=-60\times {\left(-\mathrm{1,025}\right)}^n$.

   Comme pour tout entier naturel n, $u_n=40-v_n$ on en déduit que pour tout entier naturel n, $u_n=40+60\times {\left(-\mathrm{1,025}\right)}^n$.

   L'affirmation 3 est vraie.

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3. On donne ci-dessous la courbe représentative 𝒞 de la dérivée $f\prime$ d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur ℝ.

   Affirmation 4 :
   Sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$, la fonction f est décroissante.

   Sur l'intervalle $\left]-\infty ;-4\right]$ la dérivée $f\prime$ est positive donc sur l'intervalle $\left]-\infty ;-4\right]$ la fonction f est croissante.

   L'affirmation 4 est fausse.

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   Affirmation 5 :
   Sur l'intervalle $\left[-1;3\right]$, la fonction f est convexe.

   Sur l'intervalle $\left[-1;3\right]$ la dérivée $f\prime$ est croissante donc sur l'intervalle $\left[-1;3\right]$ la fonction f est convexe.

   L'affirmation 5 est vraie.

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