Dans cet exercice, les résultats seront si nécessaire, arrondis au millième près.
Un fabricant de smartphone a constaté que 3,5 % des appareils produits présentaient une fragilité au niveau de l'écran tactile.
En vue d'un contrôle de qualité, ce fabricant prélève au hasard un échantillon de dix appareils.
On considère que le nombre de smartphones est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de dix appareils.
On note X la variable aléatoire qui associe le nombre de smartphones qui ont une fragilité au niveau de l'écran tactile.
Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?
Le nombre de smartphones est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à des tirages successifs avec remise donc X suit la loi binomiale de paramètres et .
Calculer la probabilité que dans le lot, un seul appareil a une fragilité au niveau de l'écran.
Arrondie au millième près, la probabilité que dans le lot de 10 smartphones on trouve un seul appareil ayant une fragilité au niveau de l'écran est 0,254.
Calculer la probabilité que dans le lot, au moins un appareil a une fragilité au niveau de l'écran.
Arrondie au millième près, la probabilité que dans le lot de 10 smartphones il y ait au moins un appareil ayant une fragilité au niveau de l'écran est 0,3.
On prélève au hasard n appareils. On note Y la variable aléatoire qui associe le nombre de smartphones qui ont une fragilité au niveau de l'écran tactile.
On suppose que la variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres n et .
On note la probabilité que l'un au moins de ces n smartphones a une fragilité au niveau de l'écran. Justifier que .
La probabilité que dans un lot de n smartphones il y ait au moins un appareil ayant une fragilité au niveau de l'écran est .
Déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation : . Interpréter le résultat.
Pour tout entier naturel n,
Comme , on en déduit que le plus petit entier n solution de l'inéquation : est .
Dans des lots de taille supérieure à 130, la probabilité qu'il y ait au moins un appareil ayant une fragilité au niveau de l'écran est supérieure à 0,99.
Les écrans des smartphones produits par ce fabricant proviennent de deux fournisseurs notés A et B.
2 % des écrans qui proviennent du fournisseur A sont défectueux et 4 % des écrans qui proviennent du fournisseur B sont défectueux.
Pour des raisons de prix, 25 % des écrans utilisés pour la production des smartphones proviennent du fournisseur A.
On choisit au hasard un écran dans l'ensemble des écrans. On considère les événements suivants :
Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :
25 % des écrans utilisés pour la production des smartphones proviennent du fournisseur A d'où et
2 % des écrans qui proviennent du fournisseur A sont défectueux d'où et .
4 % des écrans qui proviennent du fournisseur B sont défectueux d'où et .
D'où l'arbre pondéré rendant compte de cette situation :
Calculer la probabilité que l'écran n'ait pas de défaut et provienne du fournisseur B.
La probabilité qu'un écran n'ait pas de défaut et provienne du fournisseur B est égale à 0,72.
Montrer que la probabilité qu'un écran n'a pas de défaut est égale à 0,965.
Les évènements A et D sont relatifs à la même épreuve, d'après la formule des probabilités totales :
Or
D'où,
La probabilité qu'un écran n'a pas de défaut est égale à 0,965.
Quelle est la probabilité qu'un écran défectueux provienne du fournisseur B ?
Il s'agit, de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement sachant que l'évènement D est réalisé : .
Or
D'où
Arrondie au millième près, la probabilité qu'un écran défectueux provienne du fournisseur B est 0,857.
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