contrôles en terminale ES-L

contrôle du 15 février 2018

Corrigé de l'exercice 1

Dans cet exercice, les résultats seront si nécessaire, arrondis au millième près.

partie a

Un fabricant de smartphone a constaté que 3,5 % des appareils produits présentaient une fragilité au niveau de l'écran tactile.

  1. En vue d'un contrôle de qualité, ce fabricant prélève au hasard un échantillon de dix appareils.
    On considère que le nombre de smartphones est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de dix appareils.
    On note X la variable aléatoire qui associe le nombre de smartphones qui ont une fragilité au niveau de l'écran tactile.

    1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?

      Le nombre de smartphones est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à des tirages successifs avec remise donc X suit la loi binomiale (10;0,035) de paramètres n=10 et p=0,035.


    2. Calculer la probabilité que dans le lot, un seul appareil a une fragilité au niveau de l'écran.

      P(X=1)=(101)×0,035×(1-0,035)9=10×0,035×0,96590,254

      Arrondie au millième près, la probabilité que dans le lot de 10 smartphones on trouve un seul appareil ayant une fragilité au niveau de l'écran est 0,254.


    3. Calculer la probabilité que dans le lot, au moins un appareil a une fragilité au niveau de l'écran.

      P(X1)=1-P(X=0)=1-0,965100,3

      Arrondie au millième près, la probabilité que dans le lot de 10 smartphones il y ait au moins un appareil ayant une fragilité au niveau de l'écran est 0,3.


  2. On prélève au hasard n appareils. On note Y la variable aléatoire qui associe le nombre de smartphones qui ont une fragilité au niveau de l'écran tactile.
    On suppose que la variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres n et p=0,035.

    1. On note pn la probabilité que l'un au moins de ces n smartphones a une fragilité au niveau de l'écran. Justifier que pn=1-0,965n.

      pn=P(Y1)=1-P(Y=0)=1-0,965n

      La probabilité que dans un lot de n smartphones il y ait au moins un appareil ayant une fragilité au niveau de l'écran est pn=1-0,965n.


    2. Déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation : 1-0,965n0,99. Interpréter le résultat.

      Pour tout entier naturel n, 1-0,965n0,99-0,965n-0,010,965n0,01ln(0,965n)ln0,01 La fonction  ln est strictement croissanten×ln0,965ln0,01Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnanln0,01ln0,965ln0,965<0

      Comme ln0,01ln0,965129,26, on en déduit que le plus petit entier n solution de l'inéquation : 1-0,965n0,99 est n=130.

      Dans des lots de taille supérieure à 130, la probabilité qu'il y ait au moins un appareil ayant une fragilité au niveau de l'écran est supérieure à 0,99.


partie b

Les écrans des smartphones produits par ce fabricant proviennent de deux fournisseurs notés A et B.
2 % des écrans qui proviennent du fournisseur A sont défectueux et 4 % des écrans qui proviennent du fournisseur B sont défectueux.
Pour des raisons de prix, 25 % des écrans utilisés pour la production des smartphones proviennent du fournisseur A.

On choisit au hasard un écran dans l'ensemble des écrans. On considère les événements suivants :

  • A l'évènement « l'écran provient du fournisseur A » ;
  • D l'évènement « l'écran est défectueux ».
  1. Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :

    • 25 % des écrans utilisés pour la production des smartphones proviennent du fournisseur A d'où p(A)=0,25 et p(A¯)=1-0,25=0,75

    • 2 % des écrans qui proviennent du fournisseur A sont défectueux d'où pA(D)=0,02 et pA(D¯)=1-0,02=0,98.

    • 4 % des écrans qui proviennent du fournisseur B sont défectueux d'où pA¯(D)=0,04 et pA¯(D¯)=1-0,04=0,96.

    D'où l'arbre pondéré rendant compte de cette situation :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Calculer la probabilité que l'écran n'ait pas de défaut et provienne du fournisseur B.

    p(D¯A¯)=pA¯(D¯)×p(A¯)Soitp(D¯A¯)=0,96×0,75=0,72

    La probabilité qu'un écran n'ait pas de défaut et provienne du fournisseur B est égale à 0,72.


  3. Montrer que la probabilité qu'un écran n'a pas de défaut est égale à 0,965.

    Les évènements A et D sont relatifs à la même épreuve, d'après la formule des probabilités totales : p(D¯)=p(D¯A)+p(D¯A¯)

    Or p(D¯A)=pA(D¯)×p(A)Soitp(D¯A)=0,98×0,25=0,245

    D'où, p(D¯)=0,245+0,72=0,965

    La probabilité qu'un écran n'a pas de défaut est égale à 0,965.


  4. Quelle est la probabilité qu'un écran défectueux provienne du fournisseur B ?

    Il s'agit, de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A¯ sachant que l'évènement D est réalisé : pD(A¯)=p(DA¯)p(D).

    Or p(DA¯)=pA¯(D)×p(A¯)Soitp(DA¯)=0,04×0,75=0,03

    D'où pD(A¯)=0,031-0,9650,857

    Arrondie au millième près, la probabilité qu'un écran défectueux provienne du fournisseur B est 0,857.


Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.