contrôles en terminale ES-L

contrôle du 15 février 2018

Corrigé de l'exercice 2

partie a : Lecture graphique

On donne ci-dessous, la courbe $𝒞_{f}$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
La courbe $𝒞_{f}$ traverse sa tangente au point A d'abscisse e.

Les réponses aux deux questions suivantes seront justifiées à partir du graphique.

On note $f'$ la dérivée de la fonction f. Comparer $f' (\frac{1}{e})$ et $f' (e^{2})$ .
- $0 < \frac{1}{e} < 1$ et sur l'intervalle $] 0; 1]$ la fonction f est strictement croissante donc $f' (\frac{1}{e}) ⩾0$ .
- $7 < e^{2} < 8$ et sur l'intervalle $[7; 8]$ la fonction f est strictement décroissante donc $f' (e^{2}) ⩽0$ .
Ainsi, $f' (\frac{1}{e}) ⩾f'(e^{2})$ .
Donner le tableau des variations de la dérivée $f'$ .
Le point A d'abscisse e est un point d'inflexion. À partir de la courbe $𝒞_{f}$ on en déduit que la fonction f est concave sur $] 0; e]$ et convexe sur $[e; + \infty [$ . D'où le tableau des variations de la dérivée $f'$ :
x 0 e $+ \infty$
$f' (x)$

partie b : Étude d'une fonction

La fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{2 \ln (x) + 1}{x}$ .
On admet que la fonction f est deux fois dérivable. On note $f'$ sa dérivée et $f ″$ sa dérivée seconde.

Montrer que pour tout réel x strictement positif, on a : $f' (x) = \frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{2}}$ .
La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
$f = \frac{u}{v}$ avec $v \neq 0$ d'où $f' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ avec pour tout réel x strictement positif, ${\begin{array}{lcl} u (x) = 2 \ln (x) + 1 & d'où & u' (x) = \frac{2}{x} \\ et \\ v (x) = x & d'où & v' (x) = 1 \end{array}$
Soit pour tout réel x trictement positif, $\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{\frac{2}{x} \times x - (2 \ln (x) + 1)}{x^{2}} \\ = & \frac{2 - 2 \ln (x) - 1}{x^{2}} \\ = & \frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{2}} \end{array}$
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f' (x) = \frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{2}}$ .
Étudier le signe de $f' (x)$ .
Sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ on a $x^{2} > 0$ par conséquent, $f' (x)$ est du même signe que $1 - 2 \ln (x)$ . Or $\begin{array}{rcl} 1 - 2 \ln (x) ⩽ 0 & \Leftrightarrow & - 2 \ln (x) ⩽ - 1 \\ \Leftrightarrow & \ln (x) ⩾ \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & x ⩾ e^{0,5} \end{array}$
$f' (x) ⩾ 0$ sur l'intervalle $] 0; e^{0,5}]$ et sur l'intervalle $[e^{0,5}; + \infty [$ , on a $f' (x) ⩽ 0$ .

En déduire le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

x	0		$e^{0,5}$		$+ \infty$
$f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$f (x)$			$2 e^{- 0,5}$

Déterminer une équation de la tangente 𝒟 à la courbe $𝒞_{f}$ représentative de la fonction f au point B d'abscisse 1.
Une équation de la tangente 𝒟 à la courbe $𝒞_{f}$ au point B d'abscisse 1 est : $y = f' (1) \times (x - 1) + f (1)$
Or $f (1) = 1$ et $f' (1) = 1$ d'où une équation de la tangente 𝒟 : $y = x$
La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point B d'abscisse 1 a pour équation $y = x$ .
1. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f (x) = 1$ .
  - Sur l'intervalle $] 0; e^{0,5}]$ la fonction f est strictement croissante et $f (1) = 1$ donc l'équation $f (x) = 1$ admet sur cet intervalle une seule solution $x = 1$ .
  - Sur l'intervalle $[e^{0,5}; + \infty [$ on a $f (e^{0,5}) = 2 e^{- 0,5} \approx 1,2$ et $f (e^{2}) = 5 e^{- 2} \approx 0,67$ .
    Ainsi, sur l'intervalle $[e^{0,5}; + \infty [$ , la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f (e^{2}) < 1 < f (e^{0,5})$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . l'équation $f (x) = 1$ admet une unique solution $α \in [e^{0,5}; e^{2}]$ .
  L'équation $f (x) = 1$ admet deux solutions.
2. Donner les valeurs, éventuellement arrondies à $10^{- 3}$ près, de chacune des solutions.
  À l'aide de la calculatrice, on obtient la valeur arrondie au millième de la solution α.
  Les solutions de l'équation $f (x) = 1$ sont 1 et $α \approx 3,513$ .
1. Montrer que pour tout réel x strictement positif, on a : $f ″ (x) = \frac{4 \ln (x) - 4}{x^{3}}$ .
  La fonction dérivée $f'$ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
  $f' = \frac{u}{v}$ avec $v \neq 0$ d'où $f ″ = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ avec pour tout réel x strictement positif, ${\begin{array}{lcl} u (x) = 1 - 2 \ln (x) & d'où & u' (x) = - \frac{2}{x} \\ et \\ v (x) = x^{2} & d'où & v' (x) = 2 x \end{array}$
  Soit pour tout réel x trictement positif, $\begin{array}{rcl} f ″ (x) & = & \frac{- \frac{2}{x} \times x^{2} - 2 x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}} \\ = & \frac{- 4 x + 4 x \ln (x)}{x^{4}} \\ = & \frac{- 4 + 4 \ln (x)}{x^{3}} \end{array}$
  La dérivée seconde est la fonction $f ″$ définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f ″ (x) = \frac{4 \ln (x) - 4}{x^{3}}$ .
2. Justifier que la courbe $𝒞_{f}$ admet un point d'inflexion dont on précisera les coordonnées.
  Sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ on a $x^{3} > 0$ par conséquent, $f ″ (x)$ est du même signe que $4 \ln (x) - 4$ . Or $\begin{array}{rcl} 4 \ln (x) - 4 ⩾ 0 & \Leftrightarrow & \ln (x) ⩾ 1 \\ \Leftrightarrow & x ⩾ e \end{array}$
  D'où le tableau du signe de la dérivée seconde :
  x 0 e $+ \infty$
  $f ″ (x)$ − $0_{|}^{|}$ +
  La fonction f est concave sur $] 0; e]$ et convexe sur $[e; + \infty [$ donc, le point A d'abscisse e est un point d'inflexion. Les coordonnées du point d'inflexion sont $(e; f (e))$ soit $(e; \frac{3}{e})$
  La courbe $𝒞_{f}$ admet le point $A (e; \frac{3}{e})$ comme point d'inflexion.

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