Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Un commerçant vendant des produits biologiques propose quotidiennement des paniers légumes frais contenant 2 kg de légumes ou des paniers contenant 5 kg de légumes.
35 % des clients qui achètent ces paniers ont au moins un enfant. Parmi ceux qui n'ont pas d'enfant, 40 % choisissent les paniers de 5 kg de légumes et les autres choisissent les paniers de 2 kg de légumes.

On interroge au hasard un client qui achète un panier de légumes.
On note E l'évènement « le client interrogé a au moins un enfant » ;
on note C l'évènement « le client interrogé a choisi un panier de 5 kg de légumes ».
Pour tout évènement A, on note $\bar{A}$ l'évènement contraire.

Tous les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au millième.

Quelle est la probabilité que le client interrogé n'ait pas d'enfant ?
35 % des clients ont au moins un enfant donc $p (E) = 0,35$ d'où $\begin{array}{l} p (\bar{E}) & = & 1 - p (E) \\ = & 1 - 0,35 \\ = & 0,65 \end{array}$
La probabilité que le client interrogé n'ait pas d'enfant est égale à 0,65.
Sachant que le client interrogé n'a pas d'enfant, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un panier contenant 5 kg de légumes ?
Parmi les clients qui n'ont pas d'enfant, 40 % choisissent les paniers de 5 kg de légumes donc $p_{\bar{E}} (C) = 0,4$
La probabilité qu'un client ait choisi un panier de 5 kg sachant qu'il n'a pas d'enfant est égale à 0,4.
Décrire l'évènement $\bar{E} \cap C$ , et montrer que $p (\bar{E} \cap C) = 0,26$ .
$\bar{E} \cap C$ est l'évènement « le client interrogé n'a pas d'enfant et a choisi un panier de 5 kg de légumes »
$\begin{array}{l} p (\bar{E} \cap C) & = & p_{\bar{E}} (C) \times p (\bar{E}) \\ = & 0,4 \times 0,65 \\ = & 0,26 \end{array}$
Ainsi, $p (\bar{E} \cap C) = 0,26$ .
On sait de plus que 30 % des clients qui achètent des paniers choisissent des paniers de 5 kg.
1. Calculer $p (E \cap C)$ .
  30 % des clients qui achètent des paniers choisissent des paniers de 5 kg d'où $p (C) = 0,3$ .
  Or E et C sont deux évènements relatifs à une même épreuve, d'après la formule des probabilités totales, $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $p (C) = p (E \cap C) + p (\bar{E} \cap C)$
  D'où $\begin{array}{l} p (E \cap C) & = & p (C) - p (\bar{E} \cap C) \\ = & 0,3 - 0,26 \\ = & 0,04 \end{array}$
  Ainsi, $p (E \cap C) = 0,04$ .
2. En déduire la probabilité conditionnelle de C sachant que E est réalisé.
  $\begin{array}{l} p_{E} (C) & = & \frac{p (E \cap C)}{p (E)} \\ = & \frac{0,04}{0,35} \\ \approx & 0,1143 \end{array}$
  Arrondie au millième, la probabilité conditionnelle de C sachant que E est réalisé est 0,114.

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