sujet : Antilles-Guyane

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans un pays, un organisme étudie l'évolution de la population. Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux d'accroissement naturel et annuel de 14 pour mille. De plus, chaque année, 12 000 personnes arrivent dans ce pays et 5 000 personnes le quittent. En 2005, la population de ce pays était de 75 millions d'habitants. On suppose que l'évolution ultérieure obéit au modèle ci-dessus.
On note $P_n$ la population de l'année 2005 + n exprimée en milliers d'habitants.

1. Déterminer $P_0$, $P_1$ et $P_2$. La suite de terme général $P_n$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier la réponse.

2. Expliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=\mathrm{1,014}{P}_n+7$ .

3. Démontrer que la suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_n=P_n+500$ pour tout entier naturel n est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.

   définition :

   Dire qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=q\times u_n$.

4. Exprimer $U_n$ puis $P_n$ en fonction de n.

5. 1. Combien d'habitants peut-on prévoir en 2010 ?

   2. Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé par rapport à l'année 2005 ?

      Déterminer le plus petit entier n tel que $P_n⩾2\times \mathrm{75\; 000}$

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