Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Antilles-Guyane

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Un commerçant vendant des produits biologiques propose quotidiennement des paniers légumes frais contenant 2 kg de légumes ou des paniers contenant 5 kg de légumes.
35 % des clients qui achètent ces paniers ont au moins un enfant. Parmi ceux qui n'ont pas d'enfant, 40 % choisissent les paniers de 5 kg de légumes et les autres choisissent les paniers de 2 kg de légumes.

On interroge au hasard un client qui achète un panier de légumes.
On note E l'évènement « le client interrogé a au moins un enfant » ;
on note C l'évènement « le client interrogé a choisi un panier de 5 kg de légumes ».
Pour tout évènement A, on note A¯ l'évènement contraire.

Tous les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au millième.

  1. Quelle est la probabilité que le client interrogé n'ait pas d'enfant ?

  2. Sachant que le client interrogé n'a pas d'enfant, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un panier contenant 5 kg de légumes ?

  3. Décrire l'évènement E¯C, et montrer que pE¯C=0,26.

  4. On sait de plus que 30 % des clients qui achètent des paniers choisissent des paniers de 5 kg.

    1. Calculer pEC.

    2. En déduire la probabilité conditionnelle de C sachant que E est réalisé.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La courbe C ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle I=0+. On note f la fonction dérivée de f sur l'intervalle I.
Les axes (Ox) et (Oy) sont asymptotes à C. La courbe C passe par les points A1-1 et B1e0 et admet une tangente parallèle à (Ox) au point A.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification :

    1. f1 et f1.

    2. limx0fx et limx+fx.

    3. les solutions de l'inéquation fx0 et les solutions de l'inéquation fx0.

  2. On admet que, pour tout réel x de l'intervalle I, fx=a+blnxxa et b sont deux nombres réels.

    1. Exprimer fx en fonction des réels a et b.

    2. Utiliser les résultats de la question 1a pour montrer que a=-1 et b=-1.

    3. Retrouver les résultats de la question 1c par le calcul.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans un pays, un organisme étudie l'évolution de la population. Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux d'accroissement naturel et annuel de 14 pour mille. De plus, chaque année, 12 000 personnes arrivent dans ce pays et 5 000 personnes le quittent. En 2005, la population de ce pays était de 75 millions d'habitants. On suppose que l'évolution ultérieure obéit au modèle ci-dessus.
On note Pn la population de l'année 2005 + n exprimée en milliers d'habitants.

  1. Déterminer P0, P1 et P2. La suite de terme général Pn est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier la réponse.

  2. Expliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel n, Pn+1=1,014Pn+7 .

  3. Démontrer que la suite Un définie par Un=Pn+500 pour tout entier naturel n est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.

  4. Exprimer Un puis Pn en fonction de n.

    1. Combien d'habitants peut-on prévoir en 2010 ?

    2. Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé par rapport à l'année 2005 ?


exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne une estimation du montant des achats en ligne des ménages français, en millions d'euros, de 1998 à 2004.

Année 1998199920002001200220032004
Rang de l'année xi0123456
Montant en millions d'euros yi752608201650230040005300
  1. Calculer l'augmentation relative entre 2001 et 2002 du montant des achats.

  2. Représenter par un nuage de points associé à la série statistique xiyi dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2 cm pour 1 000 millions d'euros sur l'axe des ordonnées).

  3. Dans cette question, les calculs, effectués à la machine, ne seront pas justifiés et seront arrondis à l'unité.

    Donner une équation des la droite d'ajustement affine D de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés.
    Représenter cette droite dans le repère précédent.

  4. On propose un deuxième ajustement de cette série statistique par la fonction f définie, pour tout réel positif x, par : fx=130x2+100x+68.

    Recopier et compléter le tableau suivant :

    x0123456
    fx

    Construire la courbe représentative de la fonction f dans le repère précédent.

  5. Le montant des achats en ligne en 2005 a été de 7 700 millions d'euros. Lequel de ces deux ajustements vous paraît-il le plus conforme à la réalité ? Justifier votre réponse.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Soit la fonction g définie sur par gx=xex-1.
Le tableau suivant est le tableau de variations de la fonction g.

x− ∞ − 1 + ∞

Signe de gx

 0+ 

Variations de g

− 1

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

-1e-1

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

+ ∞

  1. On admet que l'équation gx=0 admet une unique solution a strictement positive.
    En déduire le signe de gx suivant les valeurs de x.

  2. On note f la fonction définie sur 0+ par fx=ex-lnx.

    1. Étudier la limite de f en 0. Donner une interprétation graphique du résultat.

    2. Vérifier que, pour tout x>0, fx=gxxf est la fonction dérivée de f.

    3. Étudier les variations de f puis établir son tableau de variations en admettant que la limite de f en + ∞ est + ∞.

  3. Soit C la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal.
    Tracer la courbe C en prenant 0,57 comme valeur approchée de a.
    (Prendre 4 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées).

  4. On note D l'ensemble des points Mxy du plan muni du repère ci-dessus tels que : 1x2et0yfx

    1. Hachurer le domaine D.

    2. Vérifier que la fonction H définie sur 0+ par Hx=xlnx-x est une primitive de la fonction h définie sur 0+ par hx=lnx.

    3. En déduire une primitive F de f sur 0+.

    4. Calculer l'aire du domaine D, en unités d'aire, puis donner une valeur en cm2, arrondie au dixième.



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