sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

1. On admet que l'équation $g\left(x\right)=0$ admet une unique solution a strictement positive.
   En déduire le signe de $g\left(x\right)$ suivant les valeurs de x.

   L'équation $g\left(x\right)=0$ admet une unique solution a strictement positive alors a est dans l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$.

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$g est strictement décroissante et $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=-1$ alors pour tout réel x de l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$, $g\left(x\right)<-1$.

   • Sur l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$g est strictement croissante et $g\left(a\right)=0$ donc : $$\begin{array}{rllll}-1⩽x⩽a& \Rightarrow & g\left(x\right)⩽g\left(a\right)& \text{Soit}& g\left(x\right)⩽0\\ x⩾a& \Rightarrow & g\left(x\right)⩾g\left(a\right)& \text{Soit}& g\left(x\right)⩾0\end{array}$$

   Sur $\left]-\infty ;a\right]$, $g\left(x\right)⩽0$ et sur $\left[a;+\infty \right[$, $g\left(x\right)⩾0$.

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2. On note f la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-\ln x$.

   1. Étudier la limite de f en 0. Donner une interprétation graphique du résultat.

      $\underset{x\to 0}{\lim }{\mathrm{e}}^x=1$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$ donc $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\mathrm{e}}^x-\ln x=+\infty$

      $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ alors l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe C représentative de la fonction f.

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   2. Vérifier que, pour tout $x>0$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{x}}$ où $f\prime$ est la fonction dérivée de f.

      Pour tout réel $x>0$, $$\begin{array}{lllll}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^x-{\displaystyle \frac{1}{x}}& =& {\displaystyle \frac{x{\mathrm{e}}^x-1}{x}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel $x>0$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{x}}$

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   3. Étudier les variations de f puis établir son tableau de variations en admettant que la limite de f en $+\infty$ est $+\infty$.

      Pour tout réel $x>0$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{x}}$ donc $f\prime$ est du même signe que g sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$

      Les variations de la fonction f se déduisant du signe de sa dérivée, l'étude du signe de g effectuée dans la première question permet d'établir le tableau des variations de la fonction f.

      x		0			a		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$				−	0	+
      Variations de f			$+\infty$		${\mathrm{e}}^a-\ln a$		$+\infty$

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      remarque

      Le minimum de la fonction f est $$f\left(a\right)={\mathrm{e}}^a-\ln a$$

      Or a est l'unique solution strictement positive de l'équation $g\left(x\right)=0$ donc $$\begin{array}{lll}a{\mathrm{e}}^a-1=0& \iff & {\mathrm{e}}^a={\displaystyle \frac{1}{a}}\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^a\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{1}{a}}\right)\\ & \iff & a=-\ln a\end{array}$$

      Ainsi, $f\left(a\right)={\displaystyle \frac{1}{a}}+a$

3. Soit C la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal.
   Tracer la courbe C en prenant 0,57 comme valeur approchée de a. (Prendre 4 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées).

4. On note D l'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ du plan muni du repère ci-dessus tels que : $$\begin{array}{ccc}1⩽x⩽2& \text{et}& 0⩽y⩽f\left(x\right)\end{array}$$

   1. Hachurer le domaine D.

      D est le domaine hachuré ci-dessus.

   2. Vérifier que la fonction H définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $H\left(x\right)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction h définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)=\ln x$.

      Sur $\left]0;+\infty \right[$ , la fonction H est dérivable et $$\begin{array}{lll}H\prime \left(x\right)& =& \left(1\times \ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-1\\ & =& \ln x+1-1\\ & =& \ln x\end{array}$$

      Ainsi, pour tout x de $\left]0;+\infty \right[$, $H\prime \left(x\right)=h\left(x\right)$ donc H est une primitive de h.

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   3. En déduire une primitive F de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

      $$f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-\ln x$$ alors d'après la question précédnte, une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $$\begin{array}{lll}F\left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^x-\left(x\ln x-x\right)\\ & =& {\mathrm{e}}^x-x\ln x+x\end{array}$$

      Une primitive de f est la fonction F définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-x\ln x+x$.

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   4. Calculer l'aire du domaine D, en unités d'aire, puis donner une valeur en cm², arrondie au dixième.

      Le minimum de la fonction f est $f\left(a\right)={\displaystyle \frac{1}{a}}+a$ avec $a>0$. Donc sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, la fonction f est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire :Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

      L'intégale ${\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ mesure en unités d'aire, l'aire du domaine D délimité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$. $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {[{\mathrm{e}}^x-x\ln x+x]}_1^2\\ & =& \left({\mathrm{e}}^2-2\ln 2+2\right)-\left({\mathrm{e}}^1-\ln 1+1\right)\\ & =& {\mathrm{e}}^2-\mathrm{e}-2\ln 2+1\end{array}$$

      Exprimée en unités d'aire, l'aire du domaine D est $A={\mathrm{e}}^2-\mathrm{e}-2\ln 2+1$.

      L'unité d'aire est l'aire d'un rectangle de côtés 2 cm et 4 cm donc une unité d'aire correspond à 8  cm². $$8\left({\mathrm{e}}^2-\mathrm{e}-2\ln 2+1\right)\approx \mathrm{34,28}$$

      Arrondie au dixième, l'aire du domaine D est de 34,3 cm².

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