sujet : Antilles-Guyane

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit la fonction g définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^x-1$.
Le tableau suivant est le tableau de variations de la fonction g.

x	$-\infty$		− 1		$+\infty$
Signe de $g\prime \left(x\right)$		−	0	+
Variations de g	− 1		$-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}-1$		$+\infty$

1. On admet que l'équation $g\left(x\right)=0$ admet une unique solution a strictement positive.
   En déduire le signe de $g\left(x\right)$ suivant les valeurs de x.

2. On note f la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-\ln x$.

   1. Étudier la limite de f en 0. Donner une interprétation graphique du résultat.

   2. Vérifier que, pour tout $x>0$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{x}}$ où $f\prime$ est la fonction dérivée de f.

   3. Étudier les variations de f puis établir son tableau de variations en admettant que la limite de f en $+\infty$ est $+\infty$.

3. Soit C la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal.
   Tracer la courbe C en prenant 0,57 comme valeur approchée de a.
   (Prendre 4 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées).

4. On note D l'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ du plan muni du repère ci-dessus tels que : $$\begin{array}{ccc}1⩽x⩽2& \text{et}& 0⩽y⩽f\left(x\right)\end{array}$$

   1. Hachurer le domaine D.

   2. Vérifier que la fonction H définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $H\left(x\right)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction h définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)=\ln x$.

      Dire que H est une primitive de h sur $\left]0;+\infty \right[$ signifie que pour tout x de $\left]0;+\infty \right[$, $H\prime \left(x\right)=h\left(x\right)$.

   3. En déduire une primitive F de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

   4. Calculer l'aire du domaine D, en unités d'aire, puis donner une valeur en cm², arrondie au dixième.

      Justifier que f est positive sur $\left[1;2\right]$

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