sujet : La Réunion

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie sur l'intervalle $\left[-5;2\right]$ et (C) sa courbe représentative relativement à un repère orthogonal.

partie a

Un logiciel fournit le graphique qui figure ci-dessous.
En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Expliquer les procédés utilisés et, lorsque c'est nécessaire, compléter le graphique.

1. Donner une estimation de $f\prime \left(0\right)$ où $f\prime$ est la fonction dérivée de la fonction f .

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 0.

   Avec la précision permise par le dessin, il semble que le coefficient directeur de la tangente à la courbe (C) au point de coordonnées $\left(0;2\right)$ est égal à 1.

   Graphiquement, $f\prime \left(0\right)\approx 1$.

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2. 1. Donner un encadrement d'amplitude 1 de ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      D'après les conventions graphiques, la fonction f est continue et positive sur l'intervalle $\left[-5;2\right]$ . Donc l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$.

      On obtient un encadrement de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ à l'aide de deux polygones d'aires respectives $S_1$ et $S_2$ :$$S_1<{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<S_2$$

      • L'aire $S_2$ du polygone extérieur (en rouge) est la somme des aires d'un carré de côté 2 et d'un trapèze d'où :$$S_2=2\times 2+{\displaystyle \frac{2+\mathrm{0,5}}{2}}=\mathrm{4,9375}$$

      • L'aire $S_1$ du polygone intérieur (en violet) est la somme des aires de cinq polygones. Sachant qu'une unité d'aire est égale à 32 carreaux, il est plus facile de déterminer les aires de chacun des cinq polygones en comptant les carreaux :$$S_1={\displaystyle \frac{75+30+10+\mathrm{7,5}+\mathrm{9,5}}{32}}=\mathrm{4,125}$$

      Ainsi, un encadrement d'amplitude inférieure à 1 de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est :$$\mathrm{4,125}<{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<\mathrm{4,9375}$$ Soit en arrondissant les valeurs obtenues à l'unité :

      un encadrement d'amplitude 1 possible de ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est $4<{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<5$.

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      Attention :

      Il n'y a pas unicité de l'encadrement d'amplitude 1, d'autres réponses sont possibles à l'aide du quadrillage sachant qu'une unité d'aire est égale à 32 carreaux.

   2. Donner une valeur approchée à 0,5 près de la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

      Soit $\mu$ la valeur moyenne de la fonction f sur $\left[0;2\right]$ d'après la définition de la valeur moyenne d'une fonction :Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a<b$.
      On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $\left[a;b\right]$, le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$$$\mu ={\displaystyle \frac{1}{2-0}}{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

      Nous pouvons déduire un encadrement de la valeur moyenne à partir de l'encadrement de ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{4}{2}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<{\displaystyle \frac{5}{2}}& \iff & 2<{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<\mathrm{2,5}\end{array}$$

      Nous obtenons ainsi, un encadrement d'amplitude 0,5 de la valeur moyenne. Donc tout réel de l'intervalle $\left]2;\mathrm{2,5}\right[$ est une valeur approchée à 0,5 près de la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ . Nous pouvons choisir par exemple le centre de l'intervalle.

      2,25 est une valeur approchée à 0,5 près de la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$

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partie b

Dans cette partie on sait que la fonction f est définie par : pour tout élément x de $\left[-5;2\right]$, $f\left(x\right)=\left(2-x\right){\mathrm{e}}^x$.

1. 1. On nomme $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$ pour x élément de $\left[-5;2\right]$.

      Pour tout réel x de $\left[-5;2\right]$, posons $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=2-x& \text{ ; }& u\prime \left(x\right)=-1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x& \text{ ; }& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\end{array}$ . La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.

      $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$. Donc $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& -{\mathrm{e}}^x+\left(2-x\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& \left(-1+2-x\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& \left(1-x\right){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie sur $\left[-5;2\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^x$.

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   2. Justifier l'affirmation : « Sur l'intervalle $\left[-5;2\right]$, la fonction f admet un maximum pour $x=1$ et ce maximum est égal à e ».

      $f\prime \left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^x$ . Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(1-x\right)$ sur $\left[-5;2\right]$ .
      Nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction f :

      x	− 5		1		2
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	0
      $f\left(x\right)$			e

      Ainsi, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left[-5;1\right]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $\left[1;2\right]$ donc le maximum de la fonction f est atteint pour $x=1$ et vaut $$\begin{array}{ccccc}f\left(1\right)& =& \left(2-1\right)\times {\mathrm{e}}^1& =& \mathrm{e}\end{array}$$

      Sur l'intervalle $\left[-5;2\right]$, la fonction f admet un maximum pour $x=1$ et ce maximum est égal à e.

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2. Donner une équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) en son point d'abscisse 0.

   Une équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) en son point d'abscisse 0 est donnée par la relation $$y=f\prime \left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$

   Or $f\prime \left(0\right)=\left(1-0\right)\times {\mathrm{e}}^0=1$ et $f\left(0\right)=\left(2-0\right)\times {\mathrm{e}}^0=2$. Donc

   une équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) en son point d'abscisse 0 est $y=x+2$.

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3. Soit g la fonction définie par : pour x élément de $\left[-5;2\right]$, $g\left(x\right)=\left(3-x\right){\mathrm{e}}^x$.

   1. Calculer $g\prime \left(x\right)$ où $g\prime$ est la fonction dérivée de la fonction g.

      Pour tout réel x de $\left[-5;2\right]$ , on pose $u\left(x\right)=3-x$ et $v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x$. La fonction g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.

      $g=uv$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$. Donc $$\begin{array}{lll}g\prime \left(x\right)& =& -{\mathrm{e}}^x+\left(3-x\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& \left(-1+3-x\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& \left(2-x\right){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

      $g\prime$ est la fonction définie sur $\left[-5;2\right]$ par $g\prime \left(x\right)=\left(2-x\right){\mathrm{e}}^x$.

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   2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ (en donner la valeur exacte).

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ est le réel $$\mu ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

      Or pour tout réel x de $\left[0;2\right]$, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc g est une primitive de f sur $\left[0;2\right]$ . Par conséquent, $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle {\left[\left(3-x\right){\mathrm{e}}^x\right]}_0^2}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[\left(3-2\right)\times {\mathrm{e}}^2-\left(3-0\right)\times {\mathrm{e}}^0\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2-3}{2}}\end{array}$$

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ est $\mu ={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2-3}{2}}$.

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