Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: La Réunion

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie sur l'intervalle -52 et (C) sa courbe représentative relativement à un repère orthogonal.

partie a

Un logiciel fournit le graphique qui figure ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Expliquer les procédés utilisés et, lorsque c'est nécessaire, compléter le graphique.

  1. Donner une estimation de f0f est la fonction dérivée de la fonction f .

    1. Donner un encadrement d'amplitude 1 de 02fxdx.

    2. Donner une valeur approchée à 0,5 près de la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle 02.

partie b

Dans cette partie on sait que la fonction f est définie par :
Pour tout élément x de -52, fx=2-xex.

    1. On nomme f la fonction dérivée de la fonction f. Calculer fx pour x élément de -52.

    2. Justifier l'affirmation : « Sur l'intervalle -52, la fonction f admet un maximum pour x=1 et ce maximum est égal à e ».

  1. Donner une équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) en son point d'abscisse 0.

  2. Soit g la fonction définie par : pour x élément de -52, gx=3-xex.

    1. Calculer gxg est la fonction dérivée de la fonction g.

    2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle 02 (en donner la valeur exacte).


exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les deux parties sont totalement indépendantes.

partie a

Soient A, B, C et T quatre évènements associés à une épreuve aléatoire. On note T¯ l'évènement contraire de l'évènement T.

On donne l'arbre de probabilités suivant.

Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Donner la probabilité pAT de l'évènement « T sachant que A est réalisé ».

  2. Calculer :

    1. la probabilité pB de l'évènement B;

    2. la probabilité pAT¯ de l'évènement « non T sachant que A est réalisé » ;

    3. la probabilité pAT de l'évènement « A et T ».

  3. On sait que la probabilité pT de l'évènement T est : pT=0,3.

    1. Calculer la probabilité pTA.

    2. Calculer la probabilité pBT.

partie b

Un domino est une petite plaque partagée en deux parties. Sur chacune des parties figure une série de points.
Il peut y avoir de zéro à six points dans une série. Un jeu de dominos comporte 28 dominos, tous différents.

Dominos : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Lors d'une fête, on propose le jeu suivant :

On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d'être tirés.

  1. Établir la loi de probabilité des gains possibles.

  2. Le joueur doit miser 7 € avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-il espérer récupérer ses mises à l'issue d'un grand nombre de parties ?


exercice 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.
Pour chaque question, une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à 0
.

  1. Le nombre d'habitants d'une ville était : 157 500 en 2002 et 139 860 en 2006. Le taux d'évolution du nombre d'habitants de cette ville de 2002 à 2006 est :

    1. 11,2%
    2. −12,6%
    3. −11,2%
  2. Effectuer une augmentation de 15 % suivie d'une baisse de 15 % revient à :

    1. ne procéder à aucune modification.
    2. effectuer une augmentation de 2,25 %.
    3. effectuer une diminution de 2,25 %.
  3. On admet que le chiffre d'affaire d'une entreprise augmentera régulièrement de 3,2 % par an. Sur une période de 10 ans, il augmentera, à une unité près, de :

    1. 32 %.
    2. 29 %.
    3. 37 %.
  4. La suite un est définie par : pour tout entier naturel n, un=e-nln2.

    1. un est une suite géométrique de raison -ln2.
    2. un est une suite géométrique de raison 12.
    3. un n'est pas une suite géométrique.
  5. On a représenté un nuage de points Mixilnvi et effectué un ajustement affine :

    Ajustement du nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Selon cet ajustement, lorsque x prendra la valeur 7, v vaudra environ :

    1. 1,8.
    2. 6,1.
    3. 445.

exercice 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.
Pour chaque question, une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à 0
.

  1. La suite un est définie par : pour tout entier naturel n, un=1-6n-10,5.

    1. La suite un est croissante.
    2. La suite un est décroissante.
    3. La suite un n'est pas monotone.
  2. La suite un est définie par u0=2 et, pour tout entier naturel n, un+1-un=-0,1un.

    1. La suite un est arithmétique.
    2. La suite un n'est ni arithmétique, ni géométrique.
    3. La suite un est géométrique.
  3. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

    - le plan (P) d'équation x+y+z-2=0,
    - la droite (D) d'équations cartésiennes y=1 et z=1-x.

    1. La droite (D) est sécante au plan (P).
    2. La droite (D) est incluse dans le plan (P).
    3. La droite (D) est strictement parallèle au plan (P).
  4. La matrice d'un graphe non orienté G, de sommets A, B, C, D, E est : (0010100111110100110011000)

    1. Le graphe G comporte 12 arêtes.
    2. Le graphe G admet une chaîne eulérienne.
    3. Le graphe G est complet.
  5. Les ventes d'un nouveau roman ont régulièrement progressé de 2 % chaque semaine depuis sa parution. Au cours de la première semaine il s'en était vendu dix mille exemplaires.
    Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 45 semaines écoulées depuis sa parution est :

    1. 23 900.
    2. 718 927.
    3. 743 306.

exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

partie a

On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle 150 par fx=x2+72ln10x+1 et gx=fxx

  1. Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle 150.

  2. La fonction h est définie sur l'intervalle 150 par hx=x2+720x10x+1-72ln10x+1.

    1. On admet que la dérivée de la fonction h est la fonction h définie par :
      pour tout x élément de l'intervalle 150, hx=2x10x-5910x+6110x+12.

      Résoudre l'équation hx=0 sur l'intervalle 150.

      Étudier le signe de hx sur l'intervalle 150.

    2. Dresser le tableau des variations de la fonction h.

    3. On admet que, dans l'intervalle 150, l'équation hx=0 admet une unique solution α. À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 10−2 près de α.

    4. Expliquer pourquoi

      • pour tout x élément de l'intervalle 1α, hx0,
      • pour tout x élément de l'intervalle α50, hx0.
  3. Démontrer que pour tout x élément de l'intervalle 150, gx=hxx2.

    1. Démontrer que la fonction g admet un minimum pour x=α.

    2. En utilisant le fait que gx=fxx, exprimer gx en fonction de fx puis déduire de la question précédente que gα=fα.

partie b : application

Une entreprise a conduit une étude statistique sur les coûts de production de l'un de ses produits. Pour une production comprise entre 1 tonne et 50 tonnes et des coûts exprimés en milliers d'euros, cette étude conduit à adopter le modèle mathématique suivant :

(Des graphiques obtenus à l'aide d'un logiciel sont fournis ci-dessous. Ils peuvent être complétés et rendus avec la copie).

  1. Expliquer pourquoi, quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si elle vend sa production moins de 38 000 € la tonne.

  2. Quelle que soit sa production, l'entreprise pense pouvoir la vendre en totalité au prix de 45 000 euros la tonne. Donner une estimation des productions qui pourront permettre de réaliser un bénéfice.

Représentation graphique de la fonction f

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Représentations graphiques des fonctions f ' et g

Courbes représentatives des fonctions f' et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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