Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle $[1; 50]$ par $f (x) = x^{2} + 72 \ln (10 x + 1)$ et $g (x) = \frac{f (x)}{x}$

Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle $[1; 50]$ .
- méthode 1
  - La fonction carrée est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .
  - La fonction $x ⟼ \ln (10 x + 1)$ a les mêmes variations que la fonction affine $x ⟼ 10 x + 1$ sur tout intervalle où $10 x + 1 > 0$ . Donc la fonction $x ⟼ 72 \ln (10 x + 1)$ est strictement croissante sur $[1; 50]$ .
  La fonction f est croissante en tant que somme de deux fonctions croissantes sur sur l'intervalle $[1; 50]$ .
- méthode 2
  La fonction f est dérivable et pour tout réel x de l'ntervalle $[1; 50]$ , $\begin{matrix} f' (x) & = & 2 x + \frac{72 \times 10}{10 x + 1} & = & 2 x + \frac{720}{10 x + 1} \end{matrix}$
  Or pour x élément de l'ntervalle $[1; 50]$ , $\begin{matrix} 2 x > 0 & et & 10 x + 1 > 0 & donc & 2 x + \frac{720}{10 x + 1} > 0 \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout réel x de l'ntervalle $[1; 50]$ , $f' (x) > 0$ donc la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle.

La fonction h est définie sur l'intervalle $[1; 50]$ par $h (x) = x^{2} + \frac{720 x}{10 x + 1} - 72 \ln (10 x + 1)$ .

On admet que la dérivée de la fonction h est la fonction $h'$ définie par :
pour tout x élément de l'intervalle $[1; 50]$ , $h' (x) = \frac{2 x (10 x - 59) (10 x + 61)}{{(10 x + 1)}^{2}}$ .
Résoudre l'équation $h' (x) = 0$ sur l'intervalle $[1; 50]$ . Étudier le signe de $h' (x)$ sur l'intervalle $[1; 50]$ .
$\begin{array}{c} \frac{2 x (10 x - 59) (10 x + 61)}{{(10 x + 1)}^{2}} = 0 & \Leftrightarrow & 2 x = 0 & ou & 10 x - 59 = 0 & ou & 10 x + 61 = 0 & et & 10 x + 1 \neq 0 \\ \Leftrightarrow & x = 0 & ou & x = 5,9 & ou & x = - 6,1 & et & x \neq - 0,1 \end{array}$
Or $h'$ est définie sur l'intervalle $[1; 50]$ .
Donc l'équation $h' (x) = 0$ admet une seule solution $x = 5,9$ .
Sur l'intervalle $[1; 50]$ , $2 x > 0$ , $10 x + 61 > 0$ et ${(10 x + 1)}^{2} > 0$ . Donc $h' (x)$ est du même signe que $10 x - 59$ .
D'où le tableau de signes
x 1 5,9 50
$h' (x)$ − $0_{|}^{|}$ +

Dresser le tableau des variations de la fonction h.

Les variations de la fonction h se déduisent du signe de sa dérivée

x	1		5,9		50
$h' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$h (x)$	$\frac{731}{11} - 72 \ln (11)$		$105,61 - 72 \ln (60)$		$\frac{429500}{167} - 72 \ln (501)$

$h (1) = 1 + \frac{720}{11} - 72 \ln (11) = \frac{731}{11} - 72 \ln (11)$ ; $h (5,9) = {5,9}^{2} + \frac{720 \times 5,9}{60} - 72 \ln (60) = 105,61 - 72 \ln (60)$ ; $h (50) = 50^{2} + \frac{720 \times 50}{501} - 72 \ln (501) = \frac{429500}{167} - 72 \ln (501)$ .

On admet que, dans l'intervalle $[1; 50]$ , l'équation $h (x) = 0$ admet une unique solution α. À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 10⁻² près de α.
Nous avons $h (1) \approx - 106,194$ ; $h (5,9) \approx - 189,183$ ; $h (50) \approx 2124,261$ . Le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . permet d'établir que la solution de l'équation $h (x) = 0$ est dans l'intervalle $[5,9; 50]$ .
À l'aide la calculatrice, on obtient un encadrement d'amplitude 10⁻³ de la solution α de l'équation $h (x) = 0$ .
$h (17,318) \approx - 0,0267$ et $h (17,319) \approx 0,0039$ donc $17,318 < α < 17,319$ .
L'arrondi à 10⁻² près de α est 17,32.
Expliquer pourquoi
- pour tout x élément de l'intervalle $[1; α]$ , $h (x) ⩽ 0$ ,
- pour tout x élément de l'intervalle $[α; 50]$ , $h (x) ⩾ 0$ .
- Sur l'intervalle $[1; 5,9]$ la fonction h est strictement décroissante, donc pour tout x élément de l'intervalle $[1; 5,9]$ , $h (x) ⩽ h (1) < 0$ .
  Sur l'intervalle $[5,9; α]$ la fonction h est strictement croissante, donc pour tout x élément de l'intervalle $[5,9; α]$ , $h (x) ⩽ h (α)$ . Soit comme $h (α) = 0$ , $h (x) ⩽ 0$ .
  Ainsi, pour tout x élément de l'intervalle $[1; α]$ , $h (x) ⩽ 0$ .
- Sur l'intervalle $[α; 50]$ la fonction h est strictement croissante, d'où pour tout x élément de l'intervalle $[α; 50]$ , $h (x) ⩾ h (α)$ (avec $h (α) = 0$ ).
  Donc pour tout x élément de l'intervalle $[α; 50]$ , $h (x) ⩾ 0$ .

Démontrer que pour tout x élément de l'intervalle $[1; 50]$ , $g' (x) = \frac{h (x)}{x^{2}}$ .
$g (x) = \frac{f (x)}{x}$ d'où $g' (x) = \frac{x \times f' (x) - 1 \times f (x)}{x^{2}} = \frac{x f' (x) - f (x)}{x^{2}}$
Or pour tout réel x de l'ntervalle $[1; 50]$ , $f' (x) = 2 x + \frac{720}{10 x + 1}$ et $f (x) = x^{2} + 72 \ln (10 x + 1)$ . Donc $\begin{array}{l} g' (x) & = & \frac{x (2 x + \frac{720}{10 x + 1}) - (x^{2} + 72 \ln (10 x + 1))}{x^{2}} \\ = & \frac{2 x^{2} + \frac{720 x}{10 x + 1} - x^{2} - 72 \ln (10 x + 1)}{x^{2}} \\ = & \frac{x^{2} + \frac{720 x}{10 x + 1} - 72 \ln (10 x + 1)}{x^{2}} \end{array}$
Ainsi, pour tout x élément de l'intervalle $[1; 50]$ , $g' (x) = \frac{h (x)}{x^{2}}$ .

Démontrer que la fonction g admet un minimum pour $x = α$ .

Pour tout réel x de l'intervalle $[1; 50]$ , $x^{2} > 0$ donc $g' (x)$ est du même signe que $h (x)$ .

D'après la question 2d :

pour tout x élément de l'intervalle $[1; α]$ , $g' (x) ⩽ 0$ donc sur $[1; α]$ , la fonction g est décroissante ;
pour tout x élément de l'intervalle $[α; 50]$ , $g' (x) ⩾ 0$ donc sur $[α; 50]$ , la fonction g est croissante.

x	1		α		50
$g' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$g (x)$			$g (α)$

La fonction g admet un minimum pour $x = α$ .

En utilisant le fait que $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ , exprimer $g' (x)$ en fonction de $f' (x)$ puis déduire de la question précédente que $g (α) = f' (α)$ .
$g (x) = \frac{f (x)}{x}$ d'où $g' (x) = \frac{x f' (x) - f (x)}{x^{2}}$ .
$g' (x) = \frac{h (x)}{x^{2}}$ et $h (α) = 0$ donc $g' (α) = 0$ . Par conséquent, $\begin{array}{l} \frac{α f' (α) - f (α)}{α^{2}} = 0 & \Leftrightarrow & α f' (α) - f (α) = 0 & car α \neq 0 \\ \Leftrightarrow & f' (α) = \frac{f (α)}{α} \end{array}$
Donc $g (α) = f' (α)$ .

partie b : application

Une entreprise a conduit une étude statistique sur les coûts de production de l'un de ses produits. Pour une production comprise entre 1 tonne et 50 tonnes et des coûts exprimés en milliers d'euros, cette étude conduit à adopter le modèle mathématique suivant :

le coût total de production $C_{T}$ est donné par $C_{T} = f (x)$ , où x est la quantité produite exprimée en tonnes.
Pour une production de x tonnes, le coût moyen $C_{M}$ de production d'une tonne est donné par $C_{M} = g (x)$ et le coût marginal C de production est donné par $C = f' (x)$ .

(Des graphiques obtenus à l'aide d'un logiciel sont fournis ci-dessous. Ils peuvent être complétés et rendus avec la copie).

Expliquer pourquoi, quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si elle vend sa production moins de 38 000 € la tonne.
Pour une production de x tonnes, le coût moyen $C_{M}$ de production d'une tonne est donné par $C_{M} = g (x)$ . Or d'après la question 3b la fonction g admet un minimum pour $x = α$ . $\begin{matrix} g (α) & = & \frac{f (α)}{α} & = & \frac{α^{2} + 72 \ln (10 α + 1)}{α} \end{matrix}$
D'après la question 2c, $17,31 < α < 17,32$ . Or $\begin{array}{lllcl} 17,31 < α < 17,32 & \Leftrightarrow & f (17,31) < f (α) < f (17,32) & La fonction f est croissante \\ et & 17,31 < α < 17,32 & \Leftrightarrow & \frac{1}{17,32} < \frac{1}{α} < \frac{1}{17,31} & La fonction inverse est décroissante sur ℝ^{+ *} \end{array}$
Comme $0 < f (17,31) < f (α) < f (17,32)$ et $0 < \frac{1}{17,32} < \frac{1}{α} < \frac{1}{17,31}$ , on en déduit que : $\begin{array}{l} \frac{f (17,31)}{17,32} < \frac{f (α)}{α} < \frac{f (17,32)}{17,31} & \Leftrightarrow & \frac{{17,31}^{2} + 72 \times \ln 174,1}{17,32} < \frac{f (α)}{α} < \frac{{17,32}^{2} + 72 \times \ln 174,2}{17,31} \\ \Rightarrow & 38,7 < g (α) < 38,8 \end{array}$
Le coût moyen minimal de production est supérieur à 38 000 € la tonne. Donc quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si elle vend sa production moins de 38 000 € la tonne.
interprétation graphique :
- Utilisation de la représentation graphique de la fonctionf
  Si le prix de vente est de 38 000 € la tonne, pour une production comprise entre 1 tonne et 50 tonnes la recette exprimée en milliers d'euros est $R (x) = 38 x$ . L'entreprise peut espérer faire un bénéfice si le coût total de production $C_{T}$ est inférieur à la recette. Soit pour une production x telle que : $f (x) < 38 x$
  C'est à dire, pour les abscisses des points de la courbe représentative de la fonction f situés sous la droite d'équation $y = 38 x$
  Or la courbe représentative de la fonction f est au dessus de la droite d'équation $y = 38 x$ , donc
  quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si elle vend sa production moins de 38 000 € la tonne.
- Utilisation de la représentation graphique de la fonctiong
  Si le prix de vente est de 38 000 € la tonne, l'entreprise peut espérer faire un bénéfice si le coût moyen de production $C_{M}$ est inférieur au prix de vente. Soit pour une production x telle que : $g (x) < 38$
  C'est à dire, pour les abscisses des points de la courbe représentative de la fonction g situés sous la droite d'équation $y = 38$
  Or la courbe représentative de la fonction g est au dessus de la droite d'équation $y = 38$ , donc
  quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si elle vend sa production moins de 38 000 € la tonne.
Quelle que soit sa production, l'entreprise pense pouvoir la vendre en totalité au prix de 45 000 euros la tonne. Donner une estimation des productions qui pourront permettre de réaliser un bénéfice.
Pour un prix de vente est de 45 000 € la tonne, la recette exprimée en milliers d'euros est $R (x) = 45 x$ .
L'entreprise peut espérer faire un bénéfice :
- si le coût total de production $C_{T}$ est inférieur à la recette. C'est à dire, pour une production x telle que : $\begin{matrix} f (x) < 45 x & \Leftrightarrow & x^{2} + 72 \ln (10 x + 1) < 45 x \end{matrix}$
- ou alors si le coût moyen de production $C_{M}$ est inférieur au prix de vente. C'est à dire, pour une production x telle que : $g (x) < 45$
Dans la partie A question 3b, nous avons étudié les variations de la fonction g. Il est plus judicieux de résoudre l'inéquation $g (x) < 45$
x 1 α 50
$g (x)$
$g (α)$

En appliquant successivement le théorème de la valeur intermédiaire aux intervalles $[1; α]$ et $[α; 50]$ on trouve que l'équation $g (x) = 45$ admet deux solutions $1 < x_{1} < α$ et $α < x_{2} < 50$ dont on peut déterminer une valeur approchée à l'aide de la calculatrice $x_{1} \approx 9,04$ et $x_{2} \approx 32,02$ .
Sur l'intervalle $[1; α]$ la fonction g est strictement décroissante d'où pour x élément de $[9,1; α]$ , $g (x) < 45$ .
Sur l'intervalle $[α; 50]$ la fonction g est strictement croissante d'où pour x élément de $[α; 32]$ , $g (x) < 45$ .
L'entreprise réalise un bénéfice pour toute production comprise entre 9,1 et 32 tonnes.
interprétation graphique :
- Utilisation de la représentation graphique de la fonctionf
  Si le prix de vente est de 45 000 € la tonne, l'entreprise peut espérer faire un bénéfice pour les abscisses des points de la courbe représentative de la fonction f situés sous la droite d'équation $y = 45 x$ .
  Avec la précision permise par le dessin, l'entreprise peut espérer faire un bénéfice pour une production comprise entre 9 et 32 tonnes.
- Utilisation de la représentation graphique de la fonctiong
  Si le prix de vente est de 45 000 € la tonne, l'entreprise peut espérer faire un bénéfice pour les abscisses des points de la courbe représentative de la fonction g situés sous la droite d'équation $y = 45$ .
  Avec la précision permise par le dessin, l'entreprise peut espérer faire un bénéfice pour une production comprise entre 9 et 32 tonnes.

Représentation graphique de la fonction f

Représentations graphiques des fonctions f ' et g

Remarque :

Quand le coût moyen est minimal, le coût moyen est égal au coût marginal $g (α) = f' (α)$ .

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