sujet : La Réunion

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.
Pour chaque question, une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à 0.

1. Le nombre d'habitants d'une ville était : 157 500 en 2002 et 139 860 en 2006. Le taux d'évolution du nombre d'habitants de cette ville de 2002 à 2006 est :

   Le taux d'évolution du nombre d'habitants de cette ville de 2002 à 2006 est $${\displaystyle \frac{139860-157500}{157500}}=-\mathrm{0,112}$$

   Soit une baisse de 11,2%

   • a) 11,2%

   • b) −12,6%

   • c) −11,2%

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2. Effectuer une augmentation de 15 % suivie d'une baisse de 15 % revient à :

   Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution est $$\mathrm{1,15}\times \mathrm{0,85}=\mathrm{0,9775}$$

   Soit une diminution de 2,25%

   • a) ne procéder à aucune modification.

   • b) effectuer une augmentation de 2,25 %.

   • c) effectuer une diminution de 2,25 %.

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3. On admet que le chiffre d'affaire d'une entreprise augmentera régulièrement de 3,2 % par an. Sur une période de 10 ans, il augmentera, à une unité près, de :

   Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution est $${\mathrm{1,032}}^{10}\approx \mathrm{1,37024}$$

   Soit une augmentation d'environ 37%

   • a) 32 %.

   • b) 29 %.

   • c) 37 %.

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4. La suite $\left(u_n\right)$ est définie par : pour tout entier naturel n, $u_n={\mathrm{e}}^{-n\ln 2}$.

   Dire qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=q\times u_n$.

   Pour tout entier naturel n$$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}& =& {\mathrm{e}}^{-\left(n+1\right)\ln 2}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-n\ln 2-\ln 2}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-n\ln 2}\times {\mathrm{e}}^{-\ln 2}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-n\ln 2}\times {\mathrm{e}}^{\ln {\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-n\ln 2}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   Ainsi pour tout entier naturel n$u_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times u_n$

   • a) $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $-\ln 2$.

   • b) $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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   • c) $\left(u_n\right)$ n'est pas une suite géométrique.

5. On a représenté un nuage de points $M_i\left(x_i;\ln v_i\right)$ et effectué un ajustement affine :

   Selon cet ajustement, lorsque x prendra la valeur 7, v vaudra environ :

   Sur le graphique, lorsque $x=7$, $y\approx \mathrm{6,1}$. Donc $\ln v\approx \mathrm{6,1}$ d'où $v\approx {\mathrm{e}}^{\mathrm{6,1}}$, soit environ 445.

   • a) 1,8.

   • b) 6,1.

   • c) 445.

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