sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les deux parties sont totalement indépendantes.

partie a

1. Donner la probabilité $p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{T}\right)$ de l'évènement « T sachant que A est réalisé ».

   Par lecture de l'arbre $p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{T}\right)=\mathrm{0,4}$.

   ---

2. Calculer :

   1. la probabilité $p\left(\mathrm{B}\right)$ de l'évènement B;

      D'après la règle des nœuds,Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.$$\begin{array}{lllll}p\left(\mathrm{A}\right)+p\left(\mathrm{B}\right)+p\left(\mathrm{C}\right)=1& \text{d'où}& p\left(\mathrm{B}\right)& =& 1-p\left(\mathrm{A}\right)-p\left(\mathrm{C}\right)\\ & & & =& 1-\mathrm{0,2}-\mathrm{0,7}\\ & & & =& \mathrm{0,1}\end{array}$$

      Ainsi, $p\left(\mathrm{B}\right)=\mathrm{0,1}$.

      ---

   2. la probabilité $p_{\mathrm{A}}\left(\overline{\mathrm{T}}\right)$ de l'évènement « non T sachant que A est réalisé » ;

      Toujours d'après la règle des nœuds, $$\begin{array}{lllll}{p}_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{T}\right)+p_{\mathrm{A}}\left(\overline{\mathrm{T}}\right)=1& \text{d'où}& p_{\mathrm{A}}\left(\overline{\mathrm{T}}\right)& =& 1-p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{T}\right)\\ & & & =& 1-\mathrm{0,4}\\ & & & =& \mathrm{0,6}\end{array}$$

      Ainsi, $p_{\mathrm{A}}\left(\overline{\mathrm{T}}\right)=\mathrm{0,6}$.

      ---

   3. la probabilité $p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{T}\right)$ de l'évènement « A et T ».

      $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{T}\right)& =& p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{T}\right)\times p\left(\mathrm{A}\right)\\ & =& \mathrm{0,4}\times \mathrm{0,2}\\ & =& \mathrm{0,08}\end{array}$$

      $p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{T}\right)=\mathrm{0,08}$.

      ---

3. On sait que la probabilité $p\left(\mathrm{T}\right)$ de l'évènement T est : $p\left(\mathrm{T}\right)=\mathrm{0,3}$.

   1. Calculer la probabilité $p_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{A}\right)$.

      $$\begin{array}{lll}{p}_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{A}\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{T}\right)}{p\left(\mathrm{T}\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,3}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4}{15}}\end{array}$$

      $p_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{A}\right)={\displaystyle \frac{4}{15}}$

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   2. Calculer la probabilité $p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{T}\right)$.

      $p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{T}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{T}\right)}{p\left(\mathrm{B}\right)}}$. Calculons $p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{T}\right)$

      A, B et C forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{ccc}p\left(\mathrm{T}\right)=p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{T}\right)+p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{T}\right)+p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{T}\right)& \iff & p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{T}\right)=p\left(\mathrm{T}\right)-p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{T}\right)-p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{T}\right)\end{array}$$

      Or $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{T}\right)& =& p_{\mathrm{C}}\left(\mathrm{T}\right)\times p\left(\mathrm{C}\right)\\ & =& \mathrm{0,2}\times \mathrm{0,7}\\ & =& \mathrm{0,14}\end{array}$$

      Donc $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{T}\right)& =& p\left(\mathrm{T}\right)-p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{T}\right)-p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{T}\right)\\ & =& \mathrm{0,3}-\mathrm{0,08}-\mathrm{0,14}\\ & =& \mathrm{0,08}\end{array}$$

      Ainsi, $$\begin{array}{lll}{p}_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{T}\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{T}\right)}{p\left(\mathrm{B}\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,1}}}\\ & =& \mathrm{0,8}\end{array}$$

      $p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{T}\right)=\mathrm{0,8}$

      ---

partie b

1. Établir la loi de probabilité des gains possibles.

   Déterminons à l'aide d'un tableau les sommes de points possibles sans oublier qu'il y a 28 dominos tous différents. (Par exemple, les dominos 4 | 0 et 0 | 4 sont identiques.)

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   	0	1	2	3	4	5	6
   0	0	1	2	3	4	5	6
   1		2	3	4	5	6	7
   2			4	5	6	7	8
   3				6	7	8	9
   4					8	9	10
   5						10	11
   6							12

   ---

   D'où la loi de probablité des gains possibles.

   Gains	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
   Probabilités $p_i$	${\displaystyle \frac{1}{28}}$	${\displaystyle \frac{1}{28}}$	${\displaystyle \frac{2}{28}}$	${\displaystyle \frac{2}{28}}$	${\displaystyle \frac{3}{28}}$	${\displaystyle \frac{3}{28}}$	${\displaystyle \frac{4}{28}}$	${\displaystyle \frac{3}{28}}$	${\displaystyle \frac{3}{28}}$	${\displaystyle \frac{2}{28}}$	${\displaystyle \frac{2}{28}}$	${\displaystyle \frac{1}{28}}$	${\displaystyle \frac{1}{28}}$

2. Le joueur doit miser 7 € avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-il espérer récupérer ses mises à l'issue d'un grand nombre de parties ?

   Le joueur doit miser 7 € avant de tirer un domino alors la loi de probabilité des gains algébriques possibles est

   Gains algébriques

   − 7

   − 6

   − 5

   − 4

   − 3

   − 2

   − 1

   0

   1

   2

   3

   4

   5

   Probabilités $p_i$

   ${\displaystyle \frac{1}{28}}$

   ${\displaystyle \frac{1}{28}}$

   ${\displaystyle \frac{2}{28}}$

   ${\displaystyle \frac{2}{28}}$

   ${\displaystyle \frac{3}{28}}$

   ${\displaystyle \frac{3}{28}}$

   ${\displaystyle \frac{4}{28}}$

   ${\displaystyle \frac{3}{28}}$

   ${\displaystyle \frac{3}{28}}$

   ${\displaystyle \frac{2}{28}}$

   ${\displaystyle \frac{2}{28}}$

   ${\displaystyle \frac{1}{28}}$

   ${\displaystyle \frac{1}{28}}$

   ---

   L'espérance mathématique de cette loi de probabilité est d'après la définition :Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_i$. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$$$\begin{array}{ccccc}\mu & =& {\displaystyle \frac{-7\times 1-6\times 1-5\times 2-4\times 2-3\times 3-2\times 3-1\times 4+0\times 3+1\times 3+2\times 2+3\times 2+4\times 1+5\times 1}{28}}& =& -1\end{array}$$

   L'espérance mathématique est négative alors le jeu est défavorable au joueur.

   À l'issue d'un grand nombre de parties, le joueur ne peut pas espérer récupérer sa mise. Il perdra en moyenne 1 €.

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