Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.
Pour chaque question, une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à 0
.

  1. La suite (un) est définie par : pour tout entier naturel n, un=1-6n-10,5.

    Pour tout entier naturel n, un+1-un=(1-6n-9,5)-(1-6n-10,5)=6n-10,5-6n-9,5=6(n-9,5)-6(n-10,5)(n-10,5)(n-9,5)=6(n-10,5)(n-9,5)

    Étudions le signe de un+1-un

    n0 9,5 10,5 +
    n-9,5 0||+|+ 
    n-10,5 |0||+ 
    un+1-un +0||0||+ 

    Pour tout entier n>10,5, un+1-un>0 donc la suite (un) est croissante à partir du rang 11.

    Par contre si n=10, u11-u10<0.

    On en déduit que la suite (un) n'est pas monotone.

    •  a) La suite (un) est croissante.

    •  b) La suite (un) est décroissante.

    •  c) La suite (un) n'est pas monotone.


  2. La suite (un) est définie par u0=2 et, pour tout entier naturel n, un+1-un=-0,1un.

    Pour tout entier naturel n, un+1-un=-0,1unun+1=-0,1un+unun+1=0,9un

    Ainsi, pour tout entier naturel n, un+1=0,9un donc (un) est une suite géométrique de raison 0,9.

    •  a) La suite (un) est arithmétique.

    •  b) La suite (un) n'est ni arithmétique, ni géométrique.

    •  c) La suite (un) est géométrique.


  3. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :
    - le plan (P) d'équation x+y+z-2=0,
    - la droite (D) d'équations cartésiennes y=1 et z=1-x.

    Dire que M(x;y;z) est un point d'intersection de la droite (D) et du plan (P) signifie que ses coordonnées sont solutions du système {y=1z=1-xx+y+z-2=0{y=1z=1-xx+1+1-x-2=0{y=1z=1-x0=0

    Ce système admet une infinité de solutions donc la droite (D) est incluse dans le plan (P).

    •  a) La droite (D) est sécante au plan (P).

    •  b) La droite (D) est incluse dans le plan (P).


    •  c) La droite (D) est strictement parallèle au plan (P).

  4. La matrice d'un graphe non orienté G, de sommets A, B, C, D, E est : (0010100111110100110011000)

    Les degrés des sommets sont

    SommetsABCDE
    Degré23322

    La somme des degrés des sommets est égale à 12 donc le graphe comporte 6 arêtes.

    Le graphe n'est pas complet car les sommets A et B ne sont pas adjacents.

    Le graphe est connexe et a deux sommets de degré impair, alors d'après le théorème d'Euler, Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2. il existe une chaîne eulérienne d'extrémités les sommets B et C.

    •  a) Le graphe G comporte 12 arêtes.

    •  b) Le graphe G admet une chaîne eulérienne.


    •  c) Le graphe G est complet.

  5. Les ventes d'un nouveau roman ont régulièrement progressé de 2 % chaque semaine depuis sa parution. Au cours de la première semaine il s'en était vendu dix mille exemplaires.
    Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 45 semaines écoulées depuis sa parution est :

    Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 2% est 1,02.

    Pour tout entier naturel n1, notons vn le nombre d'exemplaires vendus au cours de la nième semaine. Le nombre d'exemplaires vendus au cours de la première semaine est v1=10 000.

    Les ventes progressent régulièrement de de 2 % chaque semaine alors vn+1=1,02vn donc (vn) est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme v1=10 000.

    Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 45 semaines écoulées depuis sa parution est égal à la somme S des 45 premiers termes de la suite géométrique (vn). Soit S=10 000×1-1,02451-1,02=718 927

    •  a) 23 900.

    •  b) 718 927.


    •  c) 743 306.


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