sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie sur l'intervalle $\left[-5;2\right]$ et (C) sa courbe représentative relativement à un repère orthogonal.

partie a

Un logiciel fournit le graphique qui figure ci-dessous.

En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Expliquer les procédés utilisés et, lorsque c'est nécessaire, compléter le graphique.

1. Donner une estimation de $f\prime \left(0\right)$ où $f\prime$ est la fonction dérivée de la fonction f .

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 0.

2. 1. Donner un encadrement d'amplitude 1 de ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$.
      Pour obtenir un encadrement d'amplitude 1, utiliser le quadrillage et éventuellement affiner l'encadrement en s'approchant de la courbe.

   2. Donner une valeur approchée à 0,5 près de la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

      définition

      Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a<b$.
      On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $\left[a;b\right]$, le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

partie b

Dans cette partie on sait que la fonction f est définie par :
Pour tout élément x de $\left[-5;2\right]$, $f\left(x\right)=\left(2-x\right){\mathrm{e}}^x$.

1. 1. On nomme $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$ pour x élément de $\left[-5;2\right]$.

   2. Justifier l'affirmation : « Sur l'intervalle $\left[-5;2\right]$, la fonction f admet un maximum pour $x=1$ et ce maximum est égal à e ».

2. Donner une équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) en son point d'abscisse 0.

3. Soit g la fonction définie par : pour x élément de $\left[-5;2\right]$, $g\left(x\right)=\left(3-x\right){\mathrm{e}}^x$.

   1. Calculer $g\prime \left(x\right)$ où $g\prime$ est la fonction dérivée de la fonction g.

   2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ (en donner la valeur exacte).

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