contrôles en terminale ES

contrôle du 26 septembre 2017

Corrigé de l'exercice 2

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 10 milliers d'articles.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction C définie pour tout x élément de l'intervalle [0;10] par C(x)=x3+12x2+21x+320 La courbe représentative de la fonction C, notée 𝒞T, est donnée ci-dessous.

partie a

  1. Le coût marginal de fabrication pour une production de x milliers d'articles est donné par C(x)C est la dérivée de la fonction C. Calculer C(4) et C(6).

    C est la fonction définie sur l'intervalle [0;10] par C(x)=3x2+24x+21.

    C(4)=165 et C(6)=273.


  2. Justifier que la fonction C est strictement croissante sur [0;10].

    Les variations de la fonction C se déduisent du signe de sa dérivée.

    Cherchons les racines éventuelles du polynôme du second degré 3x2+24x+21=3(x2+8x+7)

    Le discriminant du trinôme est : Δ=82-4×7=36.

    Le trinôme admet deux racines distinctes :x1=-8-62=-7 et x2=-8+62=-1.

    Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle [0;10], C(x)>0 donc la fonction C est strictement croissante sur [0;10].


partie b

Chaque article est vendu 273 euros, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par R(x)=273x.

    1. Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe 𝒟 représentative de la fonction R.

      La courbe représentative de la fonction R est la droite 𝒟 d'équation y=273x passant par l'origine du repère et le point de coordonnées (0;2730)

      Courbes représentatives des fonctions C et R : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Par lecture graphique, déterminer la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.

      Le bénéfice maximum est obtenu pour une production x0 de l'intervalle [0;10] telle que la distance entre la droite 𝒟 et la courbe 𝒞T soit la plus grande possible.

      Le bénéfice maximal semble être obtenu pour une production de 6000 articles.


  1. Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle [0;10] par B(x)=R(x)-C(x).

    1. Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend 6 000 articles un mois donné.

      B(6)=273×6-(63+12×62+21×6+320)=544

      Avec la vente de 6 000 articles un mois donné, l'entreprise réalise un bénéfice de 544 000 euros.


    2. On note B la dérivée de la fonction B. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0;10] on a B(x)=-3x2-24x+252.

      B(x)=R(x)-C(x) d'où B(x)=R(x)-C(x). Soit B(x)=273-(3x2+24x+21)B(x)=-3x2-24x+252

    3. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [0;10].

      Les variations de la fonction B se déduisent du signe de sa dérivée.

      Cherchons les racines éventuelles du polynôme du second degré -3x2-24x+252

      Le discriminant du trinôme est : Δ=(-24)2-4×(-3)×252=3600.

      Le trinôme admet deux racines distinctes :x1=24-60-6=6 et x2=24+60-6=-14.

      Nous pouvons en déduire le tableau du signe de B(x) sur l'intervalle [0;10] ainsi que les variations B :

      x0 6 10
      B(x) +0|| 
      B(x)

      -320

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      544

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      0

    4. En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?

      D'après le tableau de variation, le maximum de la fonction B est atteint pour x=6 et B(6)=544

      Le bénéfice maximal est de 544 000 euros réalisé avec la vente de 6 000 articles.


partie c

On note f(x) le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. La fonction f est définie sur l'intervalle ]0;10] par f(x)=x3+12x2+21x+320x.
On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle ]0;10] et on appelle f sa fonction dérivée.

  1. Calculer f(x), et vérifier que f(x)=(x-4)(2x2+20x+80)x2 pour tout réel x de l'intervalle ]0;10].

    f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. f=uv d'où f=uv-uvv2 avec pour tout réel x : {u(x)=x3+12x2+21x+320d'oùu(x)=3x2+24x+21 et v(x)=x d'où v(x)=1

    Soit pour tout réel x, f(x)=(3x2+24x+21)×x-(x3+12x2+21x+320)x2=3x3+24x2+21x-x3-12x2-21x-320x2=2x3+12x2-320x2

    Or pour tout réel x, (x-4)(2x2+20x+80)=2x3+20x2+80x-8x2-80x-320=2x3+12x2-320

    Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle ]0;10] par f(x)=(x-4)(2x2+20x+80)x2.


  2. Étudier les variations de la fonction f sur ]0;10].

    Le discriminant du polynôme du second degré 2x2+20x+80 est :Δ=202-4×2×80=-240

    Δ<0 donc pour tout réel x, 2x2+20x+80>0. Par conséquent, sur l'intervalle ]0;10], f(x) est du même signe que x-4.

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

    x 0 4 10
    f(x)  0||+ 
    f(x)   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    165

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 
  3. En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?

    Le coût moyen minimal est obtenu pour une production mensuelle de 4 000 articles et f(4)=43+12×42+21×4+3204=165

    L'entreprise ne fait aucun bénéfice si le prix de vente d'un article est inférieur à 165 euros.



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