Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 10 milliers d'articles.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction C définie pour tout x élément de l'intervalle par La courbe représentative de la fonction C, notée , est donnée ci-dessous.
Le coût marginal de fabrication pour une production de x milliers d'articles est donné par où est la dérivée de la fonction C. Calculer et .
est la fonction définie sur l'intervalle par .
et .
Justifier que la fonction C est strictement croissante sur .
Les variations de la fonction C se déduisent du signe de sa dérivée.
Cherchons les racines éventuelles du polynôme du second degré
Le discriminant du trinôme est : .
Le trinôme admet deux racines distinctes : et .
Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle , donc la fonction C est strictement croissante sur .
Chaque article est vendu 273 euros, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par .
Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe 𝒟 représentative de la fonction R.
La courbe représentative de la fonction R est la droite 𝒟 d'équation passant par l'origine du repère et le point de coordonnées
Par lecture graphique, déterminer la production pour laquelle le bénéfice est maximal.
Le bénéfice maximum est obtenu pour une production de l'intervalle telle que la distance entre la droite 𝒟 et la courbe soit la plus grande possible.
Le bénéfice maximal semble être obtenu pour une production de 6000 articles.
Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle par .
Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend 6 000 articles un mois donné.
Avec la vente de 6 000 articles un mois donné, l'entreprise réalise un bénéfice de 544 000 euros.
On note la dérivée de la fonction B. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle on a .
d'où . Soit
Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle .
Les variations de la fonction B se déduisent du signe de sa dérivée.
Cherchons les racines éventuelles du polynôme du second degré
Le discriminant du trinôme est : .
Le trinôme admet deux racines distinctes : et .
Nous pouvons en déduire le tableau du signe de sur l'intervalle ainsi que les variations B :
x | 0 | 6 | 10 | ||
+ | − | ||||
544 | 0 |
En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
D'après le tableau de variation, le maximum de la fonction B est atteint pour et
Le bénéfice maximal est de 544 000 euros réalisé avec la vente de 6 000 articles.
On note le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. La fonction f est définie sur l'intervalle par .
On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle et on appelle sa fonction dérivée.
Calculer , et vérifier que pour tout réel x de l'intervalle .
f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. d'où avec pour tout réel x :
Soit pour tout réel x,
Or pour tout réel x,
Ainsi, est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
Étudier les variations de la fonction f sur .
Le discriminant du polynôme du second degré est :
donc pour tout réel x, . Par conséquent, sur l'intervalle , est du même signe que .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :
x | 0 | 4 | 10 | |||
− | + | |||||
165 |
En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?
Le coût moyen minimal est obtenu pour une production mensuelle de 4 000 articles et
L'entreprise ne fait aucun bénéfice si le prix de vente d'un article est inférieur à 165 euros.
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