contrôles en terminale ES

contrôle du 21 novembre 2017

Corrigé de l'exercice 3

partie a

On considère les matrices $M = (\begin{matrix} 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ et $N = (\begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & - 1 & x \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Effectuer le produit $M \times N$ des deux matrices.
$(\begin{matrix} 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \times (\begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & - 1 & x \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) = (\begin{matrix} 2 \times \frac{1}{2} & - 2 + 2 & 2 x - 2 + 1 \\ 0 & 1 & - 1 + 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 x - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$
$M \times N = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 x - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ .
Calculer la valeur du réel x pour que la matrice N soit égale à l'inverse de la matrice M.
La matrice N est l'inverse de la matrice M si, et seulement si, $M N = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ . C'est à dire pour x solution de l'équation : $\begin{matrix} 2 x - 1 = 0 & \Leftrightarrow & x = \frac{1}{2} \end{matrix}$
La matrice inverse de la matrice M est la matrice $N = (\begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ .

partie b

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{x}$ .

La courbe 𝒞 représentative de la fonction f admet le point A d'abscisse 0 comme point d'inflexion et la tangente au point A à la courbe 𝒞 a pour équation $y = 3 x + 8$ .

Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

1	$f (x) : = (a * x ˄ 2 + b * x + c) * e ˄ x$
	$\to f (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{x}$
2	$f' (x) : =$ Dériver $[f (x)]$
	$\to f' (x) = (a x^{2} + (2 a + b) x + b + c) e^{x}$
3	$f ″ (x) : =$ Dériver $[f' (x)]$
	$\to f ″ (x) = (a x^{2} + (4 a + b) x + 2 a + 2 b + c) e^{x}$

Justifier que les réels a, b et c sont solutions du système : ${\begin{array}{l} 2 a + 2 b + c = 0 \\ b + c = 3 \\ c = 8 \end{array}$ .
- La courbe 𝒞 admet le point A d'abscisse 0 comme point d'inflexion d'où $f ″ (0) = 0$ . Soit $\begin{matrix} (2 a + 2 b + c) e^{0} = 0 & \Leftrightarrow & 2 a + 2 b + c = 0 \end{matrix}$
- La tangente à la courbe 𝒞 au point A d'abscisse 0 a pour équation $y = 3 x + 8$ d'où $f' (0) = 3$ et $f (0) = 8$ . Soit $\begin{array}{llcl} (b + c) e^{0} = 3 & \Leftrightarrow & b + c = 3 \\ et & c \times e^{0} = 8 & \Leftrightarrow & c = 8 \end{array}$
a, b et c sont solutions du système : ${\begin{array}{l} 2 a + 2 b + c = 0 \\ b + c = 3 \\ c = 8 \end{array}$ .
Donner l'expression de $f (x)$ .
- méthode 1 :
  $\begin{matrix} {\begin{array}{l} 2 a + 2 b + c = 0 \\ b + c = 3 \\ c = 8 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{l} 2 a = - 2 b - c \\ b = 3 - 8 \\ c = 8 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{l} 2 a = 10 - 8 \\ b = - 5 \\ c = 8 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{l} a = 1 \\ b = - 5 \\ c = 8 \end{array} \end{matrix}$
  f est la fonction définie pour tout réel x par $f (x) = (x^{2} - 5 x + 8) e^{x}$ .
- méthode 2 :
  Résolution du système ${\begin{array}{l} 2 a + 2 b + c = 0 \\ b + c = 3 \\ c = 8 \end{array}$ à l'aide de matrices. Soient $M = (\begin{matrix} 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ , $X = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ et $P = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 8 \end{matrix})$ , le système s'écrit sous la forme matricielle $M \times X = P$ .
  D'après la partie A, la matrice M est inversible d'où : $\begin{array}{rcl} M \times X = P & \Leftrightarrow & M^{- 1} \times M \times X = M^{- 1} \times P \\ \Leftrightarrow & X = M^{- 1} \times P \end{array}$
  Soit : $(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 8 \end{matrix}) = (\begin{array}{r} 1 \\ - 5 \\ 8 \end{array})$
  f est la fonction définie pour tout réel x par $f (x) = (x^{2} - 5 x + 8) e^{x}$ .
1. Calculer la valeur exacte de $f (2)$ .
  $f (2) = (4 - 10 + 8) \times e^{2} = 2 e^{2}$
  $f (2) = 2 e^{2}$ .
2. La tangente à la courbe 𝒞 au point B d'abscisse 2 passe-t-elle par l'origine du repère ?
  La tangente à la courbe 𝒞 au point B d'abscisse 2 a pour équation $y = f' (2) \times (x - 2) + f (2)$
  D'après le résultat obtenu par le logiciel de calcul formel avec $a = 1$ , $b = - 5$ et $c = 8$ , on en déduit que $f'$ est la fonction définie pour tout réel x par $f' (x) = (x^{2} - 3 x + 3) e^{x}$ . D'où $f' (2) = (4 - 6 + 3) \times e^{2} = e^{2}$
  Une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point B est donc : $\begin{matrix} y = e^{2} \times (x - 2) + 2 e^{2} & \Leftrightarrow & y = e^{2} x \end{matrix}$
  La tangente à la courbe 𝒞 au point B d'abscisse 2 ayant pour équation $y = e^{2} x$ passe par l'origine du repère.

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