contrôle du 19 décembre 2017

Corrigé de l'exercice 1

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

1. En France, le nombre d'actifs âgés de 50 à 64 ans a fortement augmenté depuis 2005, il est passé de 6,1 millions en 2005 à 8,2 millions en 2016.
   Affirmation 1 :
   Depuis 2005, le nombre d'actifs âgés de 50 à 64 ans a augmenté d'environ 3,13 % chaque année.

   Soit t % le pourcentage annuel moyen d'évolution du nombre d'actifs âgés de 50 à 64 ans de 2005 à 2016 : $$\begin{array}{rcl}{\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^{11}={\displaystyle \frac{\mathrm{8,2}}{\mathrm{6,1}}}& \iff & 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,2}}{\mathrm{6,1}}}\right)}^{\frac{1}{11}}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{8,2}}{\mathrm{6,1}}}\right)}^{\frac{1}{11}}\\ & \text{Soit}& {\displaystyle \frac{t}{100}}\approx \mathrm{0,02726}\end{array}$$

   Pa conséquent, depuis 2005, le nombre d'actifs âgés de 50 à 64 ans a augmenté d'environ 2,73 % chaque année.

   L'affirmation 1 est fausse.

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2. M est une matrice carrée d'ordre 3 inversible telle que $M^2=2M$.
   Affirmation 2 :$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

   Soit $I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ la matrice identité d'ordre 3. La matrice M est inversible donc $$\begin{array}{rcl}{M}^2=2M& \iff & M^2\times M^{-1}=2M\times M^{-1}\\ & \iff & M\times I=2\times I\\ & \iff & M=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\end{array}$$

   L'affirmation 2 est vraie.

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3. Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=300$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=490-\mathrm{0,96}\times u_n$.
   Affirmation 3 :
   La suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-250$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{0,96}$ et de premier terme $v_0=50$.

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{rcl}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-250\\ & =& 490-\mathrm{0,96}\times u_n-250\\ & =& -\mathrm{0,96}{u}_n+240\\ & =& -\mathrm{0,96}\times \left(u_n-250\right)\\ & =& -\mathrm{0,96}{v}_n\end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=-\mathrm{0,96}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=-\mathrm{0,96}$.

   L'affirmation 3 est fausse.

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4. On donne ci-dessous la courbe représentative 𝒞 de la dérivée $f\prime$ d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur ℝ.

   Affirmation 4 :
   Sur l'intervalle $\left[-2;3\right]$, la fonction f est décroissante.

   Sur l'intervalle $\left[-2;1\right]$ la dérivée $f\prime$ est positive donc sur l'intervalle $\left[-2;1\right]$ la fonction f est croissante.

   L'affirmation 4 est fausse.

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   Affirmation 5 :
   Sur l'intervalle $\left[-5;1\right]$, la fonction f est convexe.

   Sur l'intervalle $\left[-2;1\right]$ la dérivée $f\prime$ est décroissante donc sur l'intervalle $\left[-2;1\right]$ la fonction f est concave.

   L'affirmation 5 est fausse.

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