contrôle du 19 décembre 2017

Corrigé de l'exercice 2

partie a

1. Calculer les probabilités $p\left(\overline{S}\right)$ et $p_{\overline{S}}\left(\overline{E}\right)$.

   • 30 % des personnes sont âgées de plus de 50 ans d'où $p\left(S\right)=\mathrm{0,3}$ et $p\left(\overline{S}\right)=1-p\left(S\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$.

   • 82,7 % des personnes âgées de moins de 50 ans travaillent à temps plein d'où $p_{\overline{S}}\left(E\right)=\mathrm{0,827}$ et $p_{\overline{S}}\left(\overline{E}\right)=1-p_{\overline{S}}\left(E\right)=1-\mathrm{0,827}=\mathrm{0,173}$.

   Ainsi, $p\left(\overline{S}\right)=\mathrm{0,7}$ et $p_{\overline{S}}\left(\overline{E}\right)=\mathrm{0,173}$.

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2. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

3. Calculer $p\left(S\cap \overline{E}\right)$. Interpréter le résultat.

   $$\begin{array}{ll}& p\left(S\cap \overline{E}\right)=p_S\left(\overline{E}\right)\times p\left(S\right)\\ \text{Soit}& p\left(S\cap \overline{E}\right)=\mathrm{0,223}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,0669}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'une personne âgée de plus de 50 ans travaille à temps partiel est 0,067.

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4. Montrer que la probabilité qu'une personne occupe en 2016 un emploi à temps partiel est égale à 0,188.

   Les évènements S et E sont relatifs à la même épreuve, d'après la formule des probabilités totales : $$p\left(\overline{E}\right)=p\left(S\cap \overline{E}\right)+p\left(\overline{S}\cap \overline{E}\right)$$

   Avec $$\begin{array}{ll}& p\left(\overline{S}\cap \overline{E}\right)=p_{\overline{S}}\left(\overline{E}\right)\times p\left(S\right)\\ \text{Soit}& p\left(\overline{S}\cap \overline{E}\right)=\mathrm{0,173}\times \mathrm{0,7}=\mathrm{0,1211}\end{array}$$

   D'où $$p\left(\overline{E}\right)=\mathrm{0,0669}+\mathrm{0,1211}=\mathrm{0,188}$$

   La probabilité qu'une personne occupe en 2016 un emploi à temps partiel est égale à 0,188.

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5. La personne interrogée occupait un emploi à temps partiel. Quelle est la probabilité qu'elle était âgée de plus de 50 ans ?

   $$\begin{array}{lll}{p}_{\stackrel{—}{E}}\left(S\right)={\displaystyle \frac{p\left(S\cap \overline{E}\right)}{p\left(\overline{E}\right)}}& \text{Soit}& p_{\stackrel{—}{E}}\left(S\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0669}}{\mathrm{0,188}}}\approx \mathrm{0,356}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'une personne qui occupait un emploi à temps partiel était âgée de plus de 50 ans est 0,356.

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partie b

1. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

   X suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=\mathrm{0,369}$.

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2. Déterminer la probabilité que dans ce groupe il y a exactement 10 actifs.

   À l'aide de la calculatrice, on a $P\left(X=10\right)\approx \mathrm{0,141}$.

   Arrondie au millième près, la probabilité que dans ce groupe il y a exactement 10 actifs est 0,141.

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3. On a calculé ci-dessous, les valeurs des probabilités $P\left(X⩽k\right)$, pour k allant de 4 à 18.

   k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$
   4	0,004 2	7	0,085 5	10	0,421 1	13	0,821 7	16	0,978 4
   5	0,014 0	8	0,165 7	11	0,570 8	14	0,901 4	17	0,991 5
   6	0,037 8	9	0,280 3	12	0,709 5	15	0,951 1	18	0,997 1

   1. Déterminer la probabilité que dans ce groupe il y ait au moins 15 actifs.

      $$P\left(X⩾15\right)=1-P\left(X⩽14\right)=1-\mathrm{0,901 4}\approx \mathrm{0,099}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité que dans ce groupe il y ait au moins 15 actifs est 0,099.

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   2. Sachant que dans ce groupe, il y a moins de 15 actifs, quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 8 actifs ?

      $$\begin{array}{rcl}{P}_{X<15}\left(X>8\right)& =& {\displaystyle \frac{P\left(8<X<15\right)}{P\left(X<15\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{P\left(X⩽14\right)-P\left(X⩽8\right)}{P\left(X⩽14\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,901 4}-\mathrm{0,165 7}}{\mathrm{0,901 4}}}\approx \mathrm{0,816}\end{array}$$

      Sachant que dans le groupe il a moins de 15 actifs, la probabilité, arrondie au millième près, qu'il y ait plus de 8 actifs est 0,816.

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