contrôles en terminale ES

contrôle du 19 décembre 2017

Corrigé de l'exercice 3

partie a

Soit f une fonction définie sur l'intervalle [0;7] par f(x)=(ax+b)e0,5x-1,5, où a et b sont deux nombres réels. On admet que la fonction f est deux fois dérivable. On note f sa dérivée et f sa dérivée seconde.
La courbe représentative 𝒞f de la fonction f est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.
La droite 𝒟 est tangente à la courbe 𝒞f au point A.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Par lecture graphique, donner les valeurs de f(3) et de f(3).

    • Le point A a pour coordonnées (3;4) d'où f(3)=4.


    • Le nombre dérivé f(3) est égal au coefficient directeur de la tangente 𝒟 à la courbe 𝒞f au point A d'où f(3)=1.


  2. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [0;7] on a : f(x)=(0,5ax+a+0,5b)e0,5x-1,5.

    La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle [0;7], {u(x)=ax+b;u(x)=av(x)=e0,5x-1,5;v(x)=0,5e0,5x-1,5

    Soit pour tout réel x, f(x)=ae0,5x-1,5+(ax+b)×0,5e0,5x-1,5=(a+0,5ax+0,5b)e0,5x-1,5

    Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle [0;7] par f(x)=(0,5ax+a+0,5b)e0,5x-1,5.


    1. Déduire des deux questions précédentes, en résolvant un système, que a=-1 et b=7.

      • f(3)=4 d'où (3a+b)e0,5×3-1,5=43a+b=4.

      • f(3)=1 d'où (1,5a+a+0,5b)e1,5-1,5=12,5a+0,5b=1.

      On en déduit que a et b sont solutions du système :{3a+b=42,5a+0,5b=1{3a+b=42a=-2{b=7a=-1

      Ainsi, a=-1 et b=7.


    2. Donner les expressions de f(x) et de f(x).

      f est la fonction définie par f(x)=(7-x)e0,5x-1,5 et f est la fonction définie par f(x)=(2,5-0,5x)e0,5x-1,5.


    1. Étudier le signe de f(x) sur l'intervalle [0;7].

      Pour tout réel x, e0,5x-1,5>0 donc f(x) est du même signe que (2,5-0,5x). Or 2,5-0,5x0x5

      Nous pouvons établir le tableau du signe de f(x) :

      x057
      f(x)+0||
    2. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur ce même intervalle.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x057
      f(x)+0||
      f(x)

      7e-1,5

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      2e

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      0

  3. Montrer que dans l'intervalle [5;7], l'équation f(x)=4 admet une deuxième solution α.

    f(5)=2e>4 et f(7)=0. Sur l'intervalle [5;7], la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et f(7)<4<f(5) alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

    l'équation f(x)=4 admet une unique solution α[5;7].


  4. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu le résultat suivant :

     1 g(x):=(2,5-0,5x)*exp(0,5x-1,5)
    g(x)=(5-x)ex2-322
     2 Dériver [g(x)]
    (3-x)ex2-324

    En s'appuyant sur ce résultat, étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle [0;7] et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion la courbe 𝒞f.

    Sur l'intervalle [0;7], g(x)=f(x). Par conséquent la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle [0;7] par f(x)=(3-x)e0,5x-1,54.

    La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde f.

    Comme pour tout réel x, e0,5x-1,5>0, f(x) est du même signe que (3-x). Nous pouvons en déduire le tableau du signe de f(x) :

    x037
    f(x)+0||

    La fonction f est convexe sur l'intervalle [0;3] et concave sur l'intervalle [3;7].
    La fonction f change de convexité en 3 donc le point A de coordonnées (3;4) est un point d'inflexion de la courbe 𝒞f.


partie b

Une entreprise fabrique un certain type d'article. Sa capacité de production est limitée à 7 000 articles par jour.
Après avoir fait une étude, le directeur constate que si l'entreprise vend chaque jour x milliers d'articles (où x est un nombre réel de l'intervalle [0;7]), alors le bénéfice quotidien est donné, en milliers d'euros, par la fonction f définie dans la partie A par f(x)=(7-x)e0,5x-1,5.

  1. Quelle quantité d'articles l'entreprise doit-elle fabriquer et vendre afin de réaliser un bénéfice maximal ?
    Quel est alors le montant, arrondi à la centaine d'euros près, de ce bénéfice maximal ?

    D'après le tableau de variation de la fonction f, le maximum de la fonction f est f(5)=2e5,4.

    Le bénéfice maximal de l'entreprise est de 5 400 euros obtenu lors de la vente de 5 000 articles.


  2. Déterminer l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice supérieur ou égal à 4 000 euros.

    • Sur l'intervalle [0;5] la fonction f est strictement croissante et f(3)=4 donc si 3x5 alors f(x)4.

    • Sur l'intervalle [5;7] la fonction f est strictement décroissante et l'équation f(x)=4 admet une solution unique α6,1873 donc si 5x6,187 alors f(x)4.

    Le bénéfice est supérieur ou égal à 4 000 euros pour une production comprise entre 3 000 et 6 187 articles.



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