Soit f une fonction définie sur l'intervalle par , où a et b sont deux nombres réels. On admet que la fonction f est deux fois dérivable. On note sa dérivée et sa dérivée seconde.
La courbe représentative de la fonction f est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.
La droite 𝒟 est tangente à la courbe au point A.
Par lecture graphique, donner les valeurs de et de .
Le point A a pour coordonnées d'où .
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente 𝒟 à la courbe au point A d'où .
Montrer que pour tout réel x de l'intervalle on a : .
La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x de l'intervalle ,
Soit pour tout réel x,
Ainsi, est la fonction définie sur l'intervalle par .
Déduire des deux questions précédentes, en résolvant un système, que et .
d'où .
d'où .
On en déduit que a et b sont solutions du système :
Ainsi, et .
Donner les expressions de et de .
f est la fonction définie par et est la fonction définie par .
Étudier le signe de sur l'intervalle .
Pour tout réel x, donc est du même signe que . Or
Nous pouvons établir le tableau du signe de :
x | 0 | 5 | 7 | ||
+ | − |
En déduire le tableau des variations de la fonction f sur ce même intervalle.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
x | 0 | 5 | 7 | ||
+ | − | ||||
0 |
Montrer que dans l'intervalle , l'équation admet une deuxième solution α.
et . Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
l'équation admet une unique solution .
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu le résultat suivant :
1 | |
2 | Dériver |
En s'appuyant sur ce résultat, étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion la courbe .
Sur l'intervalle , . Par conséquent la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par .
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde .
Comme pour tout réel x, , est du même signe que . Nous pouvons en déduire le tableau du signe de :
x | 0 | 3 | 7 | ||
+ | − |
La fonction f est convexe sur l'intervalle et concave sur l'intervalle .
La fonction f change de convexité en 3 donc le point A de coordonnées est un point d'inflexion de la courbe .
Une entreprise fabrique un certain type d'article. Sa capacité de production est limitée à 7 000 articles par jour.
Après avoir fait une étude, le directeur constate que si l'entreprise vend chaque jour x milliers d'articles (où x est un nombre réel de l'intervalle ), alors le bénéfice quotidien est donné, en milliers d'euros, par la fonction f définie dans la partie A par .
Quelle quantité d'articles l'entreprise doit-elle fabriquer et vendre afin de réaliser un bénéfice maximal ?
Quel est alors le montant, arrondi à la centaine d'euros près, de ce bénéfice maximal ?
D'après le tableau de variation de la fonction f, le maximum de la fonction f est .
Le bénéfice maximal de l'entreprise est de 5 400 euros obtenu lors de la vente de 5 000 articles.
Déterminer l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice supérieur ou égal à 4 000 euros.
Sur l'intervalle la fonction f est strictement croissante et donc si alors .
Sur l'intervalle la fonction f est strictement décroissante et l'équation admet une solution unique donc si alors .
Le bénéfice est supérieur ou égal à 4 000 euros pour une production comprise entre 3 000 et 6 187 articles.
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