a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

L'axe des abscisses est asymptote à $\left(C_f\right)$ en $+\infty$ alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

V

F

b) L'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,1}$ admet exactement deux solutions dans $ℝ$.

On applique le théorème de la valeur intermédiaire Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. sur chacun des intervalles où la fonction f est monotone :

• Sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$ f est continue et strictement décroissante à valeurs dans $\left[0;+\infty \right[$ donc l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,1}$ admet une solution unique $a\in \left]-\infty ;0\right[$.

• Sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ la fonction f est continue et strictement croissante à valeurs dans $\left[0;4\right]$ donc l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,1}$ admet une solution unique $b\in \left]0;2\right[$.

• Sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ f est continue et strictement décroissante à valeurs dans $\left]0;4\right]$ donc l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,1}$ admet une solution unique $c\in \left]2;+\infty \right[$.

Ainsi, L'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,1}$ admet exactement trois solutions.

V

F

c) $f\prime \left(1\right)=f\left(1\right)$.

• $A\left(1;\mathrm{e}\right)$ est un point de la courbe $\left(C_f\right)$ donc $f\left(1\right)=\mathrm{e}$

• $f\prime \left(1\right)$ est le coefficient directeur de la droite (OA) tangente en A à la courbe $\left(C_f\right)$ d'où $f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{1}}=\mathrm{e}$

Ainsi, $f\prime \left(1\right)=f\left(1\right)$.

V

F

d) ${\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<5$.

L'aire du domaine limité par la courbe $\left(C_f\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=4$ est sensiblement supérieure à l'aire du trapèze hachuré.

Donc ${\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}>6$.

V

F

e) ${\displaystyle {\int }_1^{3}f\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}<1$.

La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$, par conséquent f est une primitive de $f\prime$ sur $ℝ$ d'où $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_1^{3}f\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}& =& f\left(3\right)-f\left(1\right)\end{array}$$

Or $f\left(1\right)=\mathrm{e}\Rightarrow f\left(1\right)>\mathrm{2,5}$ et par lecture graphique, $f\left(3\right)<\mathrm{3,5}$

Donc ${\displaystyle {\int }_1^{3}f\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}<1$.

V

F

f) La fonction F est croissante sur $ℝ$.

F est une primitive de f sur $ℝ$ alors pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

Or pour tout réel x, $f\left(x\right)⩾0$ donc la fonction F est croissante sur $ℝ$.

V

F

g) $F\left(5\right)>F\left(6\right)$.

La fonction F est croissante sur $ℝ$ et $5<6$ donc $F\left(5\right)⩽F\left(6\right)$.

V

F

h) La fonction $f\prime$ est croissante sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

La tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point $B\left(2;4\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(2\right)=0$ . D'autre part, $f\prime \left(1\right)=\mathrm{e}$.

Donc la fonction $f\prime$ n'est pas croissante sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

V

F