Baccalauréat novembre 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une revue professionnelle est proposée en deux versions : une édition papier et une édition électronique consultable via internet. Il est possible de s'abonner à une seule des deux éditions ou de s'abonner à l'édition papier et à l'édition électronique.
L'éditeur de la revue a chargé un centre d'appel de démarcher les personnes figurant sur une liste de lecteurs potentiels.
On admet que lorsqu'un lecteur potentiel est contacté par un employé du centre d'appel, la probabilité qu'il s'abonne à l'édition papier est égale à 0,2 ; s'il s'abonne à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne aussi à l'édition électronique est égale à 0,4 ; s'il ne s'abonne pas à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne à l'édition électronique est égale à 0,1.

partie i

Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contactée par un employé du centre d'appel.

On note :

  • A l'événement « la personne s'abonne à l'édition papier »,
  • B l'événement « la personne s'abonne à l'édition électronique »,
  • A¯ l'événement contraire de A, B¯ l'événement contraire de B.
    1. Reproduire et compléter l'arbre suivant :

      On complète d'abord l'arbre avec les données fournies par l'énoncé :

      • s'il s'abonne à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne aussi à l'édition électronique est égale à 0,4 d'où pA(B)=0,4 ;
      • s'il ne s'abonne pas à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne à l'édition électronique est égale à 0,1 d'où pA¯(B)=0,1.
      Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Les autres branches de l'arbre sont complétées en utilisant la règle des nœuds :Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.


    2. Donner la probabilité de B¯ sachant A et la probabilité de B¯ sachant A¯.

      pA(B¯)=1-pA(B) d'où pA(B¯)=0,6


      pA¯(B¯)=1-pA¯(B) d'où pA¯(B¯)=0,9


    1. Calculer la probabilité que la personne contactée s'abonne à l'édition papier et à l'édition électronique.

      Il s'agit de calculer la probabilité de l'évènement AB :p(AB)=p(A)×pA(B)=0,2×0,4=0,08

      La probabilité que la personne contactée s'abonne à l'édition papier et à l'édition électronique est égale à 0,08.


    2. Justifier que la probabilité de l'événement B est égale à 0,16.

      Les évènements A et B sont relatifs à la même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
      p(B)=p(AB)+p(A¯B)

      Or p(A¯B)=p(A¯)×pA¯(B)=0,8×0,1=0,08

      Donc p(B)=p(AB)+p(A¯B)=0,08+0,08=0,16

      La probabilité que la personne contactée s'abonne à l'édition électronique est égale à 0,16.


    3. Les événements A et B sont-ils indépendants ?

      pA(B)=0,4 et p(B)=0,16

      Comme pA(B)p(B), les événements A et B ne sont pas indépendants.


  1. On suppose que la personne contactée s'est abonnée à l'édition électronique. Quelle est alors la probabilité qu'elle soit aussi abonnée à l'édition papier ?

    Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé :pB(A)=p(AB)p(B)=0,080,16=12

    La probabilité que la personne contactée soit abonnée à l'édition papier sachant qu'elle est abonnée à l'édition électronique est égale à 0,5.


partie ii

Pour chacune des personnes contactée, le centre d'appel reçoit de l'éditeur de la revue :

  • 2 € si la personne ne s'abonne à aucune des deux éditions ;
  • 10 € si la personne s'abonne uniquement à l'édition électronique ;
  • 15 € si la personne s'abonne uniquement à l'édition papier ;
  • 20 € si la personne s'abonne aux deux éditions.
  1. Reproduire et compléter, sans donner de justification, le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme reçue par le centre d'appel pour une personne contactée.

    • p(AB)=0,08 alors la probabilité associée à un gain de 20 € est égale à 0,08.
    • p(A¯B)=0,08 alors la probabilité associée à un gain de 10 € est égale à 0,08.
    • p(AB¯)=0,2×0,6=0,12 alors la probabilité associée à un gain de 15 € est égale à 0,12.
    • p(A¯B¯)=0,8×0,9=0,72 alors la probabilité associée à un gain de 2 € est égale à 0,72.

    D'où le tableau donnant la loi de probabilité de la somme reçue par le centre d'appel pour une personne contactée :

    Somme reçue en € 2101520
    Probabilité0,720,080,120,08

  2. Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation de la somme que le centre d'appel recevra de l'éditeur s'il parvient à contacter 5 000 lecteurs potentiels.

    L'espérance mathématique de cette loi de probabilité est d'après la définition :Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques xi. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :μ=x1p1+x2p2++xnpn=i=1nxipiμ=2×0,72+10×0,08+15×0,12+20×0,08=5,64

    Le centre d'appel peut espérer recevoir en moyenne 5,64 € par appel. Pour 5 000 clients contactés, son espérance de gain est de : 5000×5,64=28200

    La somme que le centre d'appel recevra de l'éditeur s'il parvient à contacter 5 000 lecteurs potentiels est estimée à 28 200 €.



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