sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. 1. Calculer le pourcentage de clients de la banque abonnés à « bank.net » au 1^er janvier de l'année 2001 (donner le résultat arrondi à l'unité).

      Pourcentage de clients de la banque abonnés à « bank.net » au 1^er janvier de l'année 2001 : $${\displaystyle \frac{45}{298}}\approx \mathrm{0,151}$$

      Arrondi à l'unité, 15% clients de la banque étaient abonnés à « bank.net » au 1^er janvier de l'année 2001.

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   2. Calculer le taux d'accroissement du nombre de clients de la banque abonnés à « bank.net » entre le 1^er janvier 2001 et le 1^er janvier 2006 (ce taux sera exprimé en pourcentage et arrondi à l'unité).

      Taux d'accroissement du nombre de clients de la banque abonnés à « bank.net » entre le 1^er janvier 2001 et le 1^er janvier 2006 :$${\displaystyle \frac{103-45}{45}}\approx \mathrm{1,2889}$$

      Arrondi à l'unité, le nombre de clients de la banque abonnés à « bank.net » a augmenté de 129% entre le 1^er janvier 2001 et le 1^er janvier 2006.

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2. Modélisation de l'évolution du nombre de clients de la banque par un ajustement affine.

   1. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Le coefficient directeur sera arrondi au dixième et l'ordonnée à l'origine sera arrondie à l'unité.

      Une équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\mathrm{9,9}x+290$. (Le coefficient directeur est arrondi au dixième et l'ordonnée à l'origine est arrondie à l'unité).

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   2. En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, donner une estimation du nombre de clients de la banque au premier janvier 2010.

      Le rang de l'année 2010 est 10. D'où une estimation du nombre de milliers de clients : $$\mathrm{9,9}\times 10+290=389$$

      En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, on peut prévoir 389 000 clients en 2010.

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3. La forme du nuage de points de coordonnées $\left(x_i;q_i\right)$ permet d'envisager un ajustement exponentiel.
   En effectuant le changement de variable $z_i=\ln \left(q_i\right)$, on obtient la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés d'équation $z=\mathrm{0,165}x+\mathrm{3,642}$.

   1. En déduire une expression de q en fonction de x de la forme $q=k{A}^x$ et donner les valeurs approchées arrondies au centième des constantes k et A.

      Pour tout réel $q>0$, $z=\ln q\iff q={\mathrm{e}}^z$ d'où $$\begin{array}{lll}q={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,165}x+\mathrm{3,642}}& \iff & q={\mathrm{e}}^{\mathrm{3,642}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,165}x}\\ & \iff & q={\mathrm{e}}^{\mathrm{3,642}}\times {\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,165}}\right)}^x\end{array}$$

      En posant $k={\mathrm{e}}^{\mathrm{3,642}}$ et $A={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,165}}$, soit $k\approx \mathrm{38,17}$ et $A\approx \mathrm{1,18}$ , on trouve :

      $q=\mathrm{38,17}\times {\left(\mathrm{1,18}\right)}^x$

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   2. On admet que l'évolution du nombre de clients abonnés à « bank.net » entre les années 2001 et 2006 peut être modélisée par la relation $q=\mathrm{38,17}\times {\left(\mathrm{1,18}\right)}^x$.
      En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, donner une estimation du nombre de clients abonnés à «bank.net » au 1^er janvier 2010.

      Le rang de l'année 2010 est 10. D'où une estimation du nombre de milliers de clients abonnés à «bank.net » : $$\mathrm{38,17}\times {\left(\mathrm{1,18}\right)}^{10}\approx \mathrm{199,8}$$

      À partir de ce modèle, on peut estimer à 200 000 le nombre de clients abonnés à «bank.net » en 2010.

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   3. Quel serait, selon l'estimation obtenue à la question 2. b. et l'estimation précédente, le pourcentage de clients de la banque abonnés à «bank.net » au 1^er janvier 2010 ?

      À partir des deux estimations, le pourcentage de clients de la banque abonnés à « bank.net » au 1^er janvier de l'année 2010 : $${\displaystyle \frac{200}{389}}\approx \mathrm{51,4}$$

      On peut prévoir, que 51% clients de la banque seront abonnés à « bank.net » au 1^er janvier de l'année 2010.

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4. On suppose que, jusqu'au 1^er janvier 2016, le nombre de clients de la banque évolue selon le modèle obtenu à la question 2. a. et le nombre de clients de la banque abonnés à « bank.net » évolue selon le modèle donné à la question 3.b.
   À l'aide de ces deux modèles, quelles prévisions obtient-on pour 2016 ? Qu'en pensez-vous ?

   Le rang de l'année 2016 est 16. D'où :

   • une estimation du nombre de milliers de clients de $$\mathrm{9,9}\times 16+290=\mathrm{448,4}$$

   • une estimation du nombre de milliers de clients abonnés à «bank.net » de $$\mathrm{38,17}\times {\left(\mathrm{1,18}\right)}^{16}\approx \mathrm{539,3}$$

   En 2016, le nombre d'abonnés serait supérieur au nombre de clients ! Les modèles choisis ne sont pas adaptés pour des prévisions à long terme.

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