Baccalauréat novembre 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle [0;7] et tout réel y de l'intervalle [0;5] par f(x;y)=4x+3y+xy.

partie a

On appelle S la surface représentant la fonction f dans un repère orthogonal de l'espace. La figure ci-après, à rendre avec la copie, donne une vue de la surface S.

  1. A est le point de S d'abscisse 3 et d'ordonnée 4, B est le point de S d'ordonnée 2 et de cote 40.

    1. Placer les points A et B sur la figure.

      Surface S représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Déterminer la valeur exacte de la cote du point A et la valeur exacte de l'abscisse du point B.

      • f(3;4)=4×3+3×4+3×4=36

        La cote du point A est égale à 36.


      • f(x;2)=404x+3×2+2x=40x=173

        L'abscisse du point B est égale à 173.


  2. On appelle L l'intersection de la surface S et du plan d'équation y=4. Déterminer la nature de l'ensemble L et surligner en couleur cet ensemble sur la figure.

    Les coordonnées de l'ensemble des points M(x;y;z) de l'intersection de la surface S et du plan L vérifient le système :{z=4x+3y+xyy=4{z=4x+3×4+4xy=4{z=8x+12Équation d'un plan parallèle à l'axe des ordonnéesy=4Équation du plan L parallèle au plan (xOz)

    Ainsi, l'intersection de la surface S et du plan L est la droite caractérisée par le système {z=8x+12y=4


partie b

Les activités d'une grosse entreprise sont réparties entre deux secteurs : le secteur P (production) et le secteur C (commercialisation).
Cette entreprise envisage d'investir au cours de l'année 2008 jusqu'à 7 millions d'euros dans le secteur P et jusqu'à 5 millions d'euros dans le secteur C.
Le service chargé d'évaluer l'effet de ces investissements sur le chiffre d'affaire 2009 de l'entreprise, propose le modèle suivant :
Pour 0x7 et 0y5, si l'entreprise investit au cours de l'année 2008, x millions d'euros dans le secteur P et y millions d'euros dans le secteur C, cela entraînera en 2009 une hausse du chiffre d'affaire égale à f(x;y) millions d'euros.

  1. Déterminer la hausse du chiffre d'affaire 2009 prévue par ce modèle dans chacun des cas suivants :

    1. x=3 et y=5 ;

      f(3;5)=4×3+3×5+3×5=42

      Si l'entreprise investit au cours de l'année 2008, 3 millions d'euros dans le secteur P et 5 millions d'euros dans le secteur C, cela entraînera en 2009 une hausse du chiffre d'affaire égale à 42 millions d'euros.


    2. x=7 et y=1.

      f(7;1)=4×7+3×1+7×1=38

      Si l'entreprise investit au cours de l'année 2008, 7 millions d'euros dans le secteur P et 1 million d'euros dans le secteur C, cela entraînera en 2009 une hausse du chiffre d'affaire égale à 38 millions d'euros.


  2. On suppose que l'entreprise décide de fixer à 8 millions d'euros le montant total des investissements prévus au cours de l'année 2008.

    1. Montrer que, sous cette contrainte, on peut exprimer f(x;y) en fonction de x seulement. On note g(x) l'expression ainsi obtenue. Vérifier que g(x)=-x2+9x+24.

      Sous la contrainte x+y=8, on a {f(x;y)=4x+3y+xyx+y=8x[0;7] et y[0;5]{f(x;y)=4x+3(8-x)+x(8-x)y=8-xx[0;7] et y[0;5]{f(x;y)=4x+24-3x+8x-x2y=8-xx[0;7] et y[0;5]{f(x;y)=-x2+9x+24y=8-xx[0;7] et y[0;5]

      Ainsi, sous la contrainte x+y=8, f(x;y) peut s'écrire sous la forme : f(x;y)=g(x) avec g(x)=-x2+9x+24 et x[0;7].


    2. Selon le modèle proposé, comment faudra-t-il répartir entre les secteurs P et C les 8 millions euros à investir au cours de l'année 2008 pour obtenir une hausse maximale du chiffre d'affaire de l'année 2009 ?

      La fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par x-x2+9x+24 atteint un maximum pour x=-92×(-1)=4,5

      Comme 4,5[0;7], le maximum de la fonction g est obtenu pour x=4,5

      Avec un montant total des investissements de 8 millions d'euros, la hausse maximale du chiffre d'affaire de l'année 2009 est obtenue avec un investissement de 4,5 millions d'euros dans le secteur P et de 3,5 millions dans le secteur C.



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