On considère la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle et tout réel y de l'intervalle par .
On appelle S la surface représentant la fonction f dans un repère orthogonal de l'espace. La figure ci-après, à rendre avec la copie, donne une vue de la surface S.
A est le point de S d'abscisse 3 et d'ordonnée 4, B est le point de S d'ordonnée 2 et de cote 40.
Placer les points A et B sur la figure.
Déterminer la valeur exacte de la cote du point A et la valeur exacte de l'abscisse du point B.
La cote du point A est égale à 36.
L'abscisse du point B est égale à .
On appelle L l'intersection de la surface S et du plan d'équation . Déterminer la nature de l'ensemble L et surligner en couleur cet ensemble sur la figure.
Les coordonnées de l'ensemble des points de l'intersection de la surface S et du plan L vérifient le système :
Ainsi, l'intersection de la surface S et du plan L est la droite caractérisée par le système
Les activités d'une grosse entreprise sont réparties entre deux secteurs : le secteur P (production) et le secteur C (commercialisation).
Cette entreprise envisage d'investir au cours de l'année 2008 jusqu'à 7 millions d'euros dans le secteur P et jusqu'à 5 millions d'euros dans le secteur C.
Le service chargé d'évaluer l'effet de ces investissements sur le chiffre d'affaire 2009 de l'entreprise, propose le modèle suivant :
Pour et , si l'entreprise investit au cours de l'année 2008, x millions d'euros dans le secteur P et y millions d'euros dans le secteur C, cela entraînera en 2009 une hausse du chiffre d'affaire égale à millions d'euros.
Déterminer la hausse du chiffre d'affaire 2009 prévue par ce modèle dans chacun des cas suivants :
et ;
Si l'entreprise investit au cours de l'année 2008, 3 millions d'euros dans le secteur P et 5 millions d'euros dans le secteur C, cela entraînera en 2009 une hausse du chiffre d'affaire égale à 42 millions d'euros.
et .
Si l'entreprise investit au cours de l'année 2008, 7 millions d'euros dans le secteur P et 1 million d'euros dans le secteur C, cela entraînera en 2009 une hausse du chiffre d'affaire égale à 38 millions d'euros.
On suppose que l'entreprise décide de fixer à 8 millions d'euros le montant total des investissements prévus au cours de l'année 2008.
Montrer que, sous cette contrainte, on peut exprimer en fonction de x seulement. On note l'expression ainsi obtenue. Vérifier que .
Sous la contrainte , on a
Ainsi, sous la contrainte , peut s'écrire sous la forme : avec et .
Selon le modèle proposé, comment faudra-t-il répartir entre les secteurs P et C les 8 millions euros à investir au cours de l'année 2008 pour obtenir une hausse maximale du chiffre d'affaire de l'année 2009 ?
La fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par atteint un maximum pour
Comme , le maximum de la fonction g est obtenu pour
Avec un montant total des investissements de 8 millions d'euros, la hausse maximale du chiffre d'affaire de l'année 2009 est obtenue avec un investissement de 4,5 millions d'euros dans le secteur P et de 3,5 millions dans le secteur C.
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.