sujet : amérique du sud

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une banque propose à ses clients de s'abonner au service "bank.net" qui permet de consulter son compte et d'effectuer des transactions via une connexion internet.
Le tableau ci-dessous donne l'évolution deu nombre de clients de la banque et du nombre de clients abonnés à "bank.net" de l'année 2001 à l'année 2006.
$y_i$ est le nombre de milliers de clients de la banque au 1^er janvier de l'année de rang $x_i$.
$q_i$ est le nombre de milliers de clients de la banque abonnés à "bank-.net" au 1^er janvier de l'année de rang $x_i$.

Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Rang de l'année : $x_i$	1	2	3	4	5	6
Nombre de clients : $y_i$ (en milliers)	298	310	321	330	339	348
Nombre d'abonnés à "bank.net" : $q_i$ (en milliers)	45	53	63	74	87	103

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Les séries statistiques $\left(x_i;y_i\right)$ et $\left(x_i;q_i\right)$ sont représentées sur la figure ci-dessous :

1. 1. Calculer le pourcentage de clients de la banque abonnés à « bank.net » au 1^er janvier de l'année 2001 (donner le résultat arrondi à l'unité).

   2. Calculer le taux d'accroissement du nombre de clients de la banque abonnés à « bank.net » entre le 1^er janvier 2001 et le 1^er janvier 2006 (ce taux sera exprimé en pourcentage et arrondi à l'unité).

2. Modélisation de l'évolution du nombre de clients de la banque par un ajustement affine.

   1. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Le coefficient directeur sera arrondi au dixième et l'ordonnée à l'origine sera arrondie à l'unité.

   2. En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, donner une estimation du nombre de clients de la banque au premier janvier 2010.

3. La forme du nuage de points de coordonnées $\left(x_i;q_i\right)$ permet d'envisager un ajustement exponentiel.
   En effectuant le changement de variable $z_i=\ln \left(q_i\right)$, on obtient la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés d'équation $z=\mathrm{0,165}x+\mathrm{3,642}$.

   1. En déduire une expression de q en fonction de x de la forme $q=k{A}^x$ et donner les valeurs approchées arrondies au centième des constantes k et A.

      Pour tout réel $q>0$, $z=\ln q\iff q={\mathrm{e}}^z$

   2. On admet que l'évolution du nombre de clients abonnés à « bank.net » entre les années 2001 et 2006 peut être modélisée par la relation $q=\mathrm{38,17}\times {\left(\mathrm{1,18}\right)}^x$.
      En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, donner une estimation du nombre de clients abonnés à «bank.net » au 1^er janvier 2010.

   3. Quel serait, selon l'estimation obtenue à la question 2. b. et l'estimation précédente, le pourcentage de clients de la banque abonnés à «bank.net » au 1^er janvier 2010 ?

4. On suppose que, jusqu'au 1^er janvier 2016, le nombre de clients de la banque évolue selon le modèle obtenu à la question 2. a. et le nombre de clients de la banque abonnés à « bank.net » évolue selon le modèle donné à la question 3.b.
   À l'aide de ces deux modèles, quelles prévisions obtient-on pour 2016 ? Qu'en pensez-vous ?

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