Baccalauréat novembre 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: amérique du sud

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie et dérivable sur .
La figure ci-dessous montre une partie de sa courbe représentative Cf dans un repère orthonormal Oıȷ.

On dispose des renseignements suivants sur la fonction f et la courbe Cf :

On note f la fonction dérivée de f et on appelle F la primitive de f sur telle que F0=0.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Pour chacune des affirmations suivantes, en utilisant les informations données par l'énoncé, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse). Il n'est pas demandé de justifier les réponses.

Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l'absence de réponse n'enlève aucun point  et  n'en rapporte aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

AffirmationVraiFaux

a) limx+fx=-.

V

F

b) L'équation fx=0,1 admet exactement deux solutions dans .

V

F

c) f1=f1.

V

F

d) 24fxdx<5.

V

F

e) 13fxdx<1.

V

F

f) La fonction F est croissante sur .

V

F

g) F5>F6.

V

F

h) La fonction f est croissante sur l'intervalle 02.

V

F


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une revue professionnelle est proposée en deux versions : une édition papier et une édition électronique consultable via internet. Il est possible de s'abonner à une seule des deux éditions ou de s'abonner à l'édition papier et à l'édition électronique.
L'éditeur de la revue a chargé un centre d'appel de démarcher les personnes figurant sur une liste de lecteurs potentiels.
On admet que lorsqu'un lecteur potentiel est contacté par un employé du centre d'appel, la probabilité qu'il s'abonne à l'édition papier est égale à 0,2 ; s'il s'abonne à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne aussi à l'édition électronique est égale à 0,4 ; s'il ne s'abonne pas à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne à l'édition électronique est égale à 0,1.

partie i

Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contactée par un employé du centre d'appel.

On note :

    1. Reproduire et compléter l'arbre suivant :

      Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Donner la probabilité de B¯ sachant A et la probabilité de B¯ sachant A¯.

    1. Calculer la probabilité que la personne contactée s'abonne à l'édition papier et à l'édition électronique.

    2. Justifier que la probabilité de l'événement B est égale à 0,16.

    3. Les événements A et B sont-ils indépendants ?

  1. On suppose que la personne contactée s'est abonnée à l'édition électronique. Quelle est alors la probabilité qu'elle soit aussi abonnée à l'édition papier ?

partie ii

Pour chacune des personnes contactée, le centre d'appel reçoit de l'éditeur de la revue :

  1. Reproduire et compléter, sans donner de justification, le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme reçue par le centre d'appel pour une personne contactée.

    Somme reçue en €  2 101520
    Probabilité    
  2. Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation de la somme que le centre d'appel recevra de l'éditeur s'il parvient à contacter 5 000 lecteurs potentiels.


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle 07 et tout réel y de l'intervalle 05 par fxy=4x+3y+xy.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

On appelle S la surface représentant la fonction f dans un repère orthogonal de l'espace.
La figure ci-après, à rendre avec la copie, donne une vue de la surface S.

Surface S représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. A est le point de S d'abscisse 3 et d'ordonnée 4, B est le point de S d'ordonnée 2 et de cote 40.

    1. Placer les points A et B sur la figure.

    2. Déterminer la valeur exacte de la cote du point A et la valeur exacte de l'abscisse du point B.

  2. On appelle L l'intersection de la surface S et du plan d'équation y=4.
    Déterminer la nature de l'ensemble L et surligner en couleur cet ensemble sur la figure.

partie b

Les activités d'une grosse entreprise sont réparties entre deux secteurs : le secteur P (production) et le secteur C (commercialisation).
Cette entreprise envisage d'investir au cours de l'année 2008 jusqu'à 7 millions d'euros dans le secteur P et jusqu'à 5 millions d'euros dans le secteur C.
Le service chargé d'évaluer l'effet de ces investissements sur le chiffre d'affaire 2009 de l'entreprise, propose le modèle suivant :
Pour 0x7 et 0y5, si l'entreprise investit au cours de l'année 2008, x millions d'euros dans le secteur P et y millions d'euros dans le secteur C, cela entraînera en 2009 une hausse du chiffre d'affaire égale à fxy millions d'euros.

  1. Déterminer la hausse du chiffre d'affaire 2009 prévue par ce modèle dans chacun des cas suivants :

    1. x=3 et y=5 ;

    2. x=7 et y=1.

  2. On suppose que l'entreprise décide de fixer à 8 millions d'euros le montant total des investissements prévus au cours de l'année 2008.

    1. Montrer que, sous cette contrainte, on peut exprimer fxy en fonction de x seulement.
      On note gx l'expression ainsi obtenue. Vérifier que gx=-x2+9x+24.

    2. Selon le modèle proposé, comment faudra-t-il répartir entre les secteurs P et C les 8 millions euros à investir au cours de l'année 2008 pour obtenir une hausse maximale du chiffre d'affaire de l'année 2009 ?


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une banque propose à ses clients de s'abonner au service "bank.net" qui permet de consulter son compte et d'effectuer des transactions via une connexion internet.
Le tableau ci-dessous donne l'évolution deu nombre de clients de la banque et du nombre de clients abonnés à "bank.net" de l'année 2001 à l'année 2006.
yi est le nombre de milliers de clients de la banque au 1er janvier de l'année de rang xi.
qi est le nombre de milliers de clients de la banque abonnés à "bank-.net" au 1er janvier de l'année de rang xi.

Année200120022003200420052006
Rang de l'année : xi123456
Nombre de clients : yi (en milliers)298310321330339348
Nombre d'abonnés à "bank.net" : qi (en milliers)4553637487103

Les séries statistiques xiyi et xiqi sont représentées sur la figure ci-dessous :

Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer le pourcentage de clients de la banque abonnés à « bank.net » au 1er janvier de l'année 2001 (donner le résultat arrondi à l'unité).

    2. Calculer le taux d'accroissement du nombre de clients de la banque abonnés à « bank.net » entre le 1er janvier 2001 et le 1er janvier 2006 (ce taux sera exprimé en pourcentage et arrondi à l'unité).

  1. Modélisation de l'évolution du nombre de clients de la banque par un ajustement affine.

    1. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Le coefficient directeur sera arrondi au dixième et l'ordonnée à l'origine sera arrondie à l'unité.

    2. En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, donner une estimation du nombre de clients de la banque au premier janvier 2010.

  2. La forme du nuage de points de coordonnées xiqi permet d'envisager un ajustement exponentiel.
    En effectuant le changement de variable zi=lnqi, on obtient la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés d'équation z=0,165x+3,642.

    1. En déduire une expression de q en fonction de x de la forme q=kAx et donner les valeurs approchées arrondies au centième des constantes k et A.

    2. On admet que l'évolution du nombre de clients abonnés à « bank.net » entre les années 2001 et 2006 peut être modélisée par la relation q=38,17×1,18x.
      En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, donner une estimation du nombre de clients abonnés à «bank.net » au 1er janvier 2010.

    3. Quel serait, selon l'estimation obtenue à la question 2. b. et l'estimation précédente, le pourcentage de clients de la banque abonnés à «bank.net » au 1er janvier 2010 ?

  3. On suppose que, jusqu'au 1er janvier 2016, le nombre de clients de la banque évolue selon le modèle obtenu à la question 2. a. et le nombre de clients de la banque abonnés à « bank.net » évolue selon le modèle donné à la question 3.b.
    À l'aide de ces deux modèles, quelles prévisions obtient-on pour 2016 ? Qu'en pensez-vous ?


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On admettra que les fonctions considérées dans cet exercice sont dérivables sur l'intervalle 0+.

Soit la fonction f définie sur l'intervalle 0+ par fx=2-lnxlnx La figure ci-dessous donne la courbe représentative Cf de la fonction f dans un repère orthonormal Oıȷ.
La courbe Cf coupe l'axe des abscisses en A10 et en B.
La tangente en C à la courbe Cf est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente en A à la courbe Cf coupe l'axe des ordonnées en D.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer l'abscisse du point B (la valeur exacte est demandée).

  2. Calculer la limite de f en 0 et la limite de f en + ∞.

  3. On note f la fonction dérivée de f sur 0+.

    1. Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle 0+, fx=21-lnxx

    2. Déterminer les coordonnées du point C et l'ordonnée du point D (les valeurs exactes sont demandées).

    1. Soit la fonction g définie sur l'intervalle 0+ par gx=xfx+2lnx-4 Démontrer que g est une primitive de f sur l'intervalle 0+.

    2. Calculer 1e2fxdx et donner une interprétation géométrique de cette intégrale.



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