sujet : amérique du sud

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On admettra que les fonctions considérées dans cet exercice sont dérivables sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

Soit la fonction f définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $$f\left(x\right)=\left(2-\ln x\right)\ln x$$ La figure ci-dessous donne la courbe représentative $\left(C_f\right)$ de la fonction f dans un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.
La courbe $\left(C_f\right)$ coupe l'axe des abscisses en $A\left(1;0\right)$ et en B.
La tangente en C à la courbe $\left(C_f\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente en A à la courbe $\left(C_f\right)$ coupe l'axe des ordonnées en D.

1. Déterminer l'abscisse du point B (la valeur exacte est demandée).

   L'abscisse du point B est l'une des solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$

2. Calculer la limite de f en 0 et la limite de f en $+\infty$.

3. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

   1. Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2\left(1-\ln x\right)}{x}}$

   2. Déterminer les coordonnées du point C et l'ordonnée du point D (les valeurs exactes sont demandées).

      L'abscisse du point C est solution de l'équation $f\prime \left(x\right)=0$.
      D est le point d'intersection de la tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point $A\left(1;0\right)$ avec l'axe des ordonnées.

4. 1. Soit la fonction g définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $$g\left(x\right)=x\left[f\left(x\right)+2\ln x-4\right]$$ Démontrer que g est une primitive de f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Dire que g est une primitive de f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$

   2. Calculer ${\displaystyle {\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ et donner une interprétation géométrique de cette intégrale.

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